湖北省武汉外国语学校2022-2023学年下学期八年级3月月考数学试卷

这是一份湖北省武汉外国语学校2022-2023学年下学期八年级3月月考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角互补，另一组对角相等
2．如果直角三角形两直角边为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A．60：13B．5：12C．12：13D．60：169
3．如图，E为平行四边形ABCD内一点，且EA＝EB＝EC，若∠D＝50°，则∠AEC的度数是（ ）
A．90°B．95°C．100°D．110°
4．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长是（ ）
A．16B．14C．12D．10
5．如图，P为平行四边形ABCD内一点，且△PAB和△PAD的面积分别为5和2，则△PAC的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AC与BD相交于O，若AB＝5，AD＝3，则BD的长为（ ）
A．2B．C．D．
7．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（ ）
A．2B．C．D．15
8．把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
9．已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）
A．40B．80C．40或360D．80或360
10．已知，在▱ABCD中，点M、N分别是AB、CD的中点，AN、CM交DB于P、Q两点，下列结论：①PD＝PQ＝QB； ②AP＝CQ；③CQ＝2MQ； ④SADP＝S▱ABCD．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一个平行四边形的周长为80cm，且相邻两边之比为1：3，则长边＝ cm，短边＝ cm．
12．在▱ABCD中，∠C的平分线交AB于点E，交DA延长线于点F，且AE＝3cm，EB＝5cm，则▱ABCD的周长为 ．
13．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝75°．AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED＝ °．
14．如图，在▱ABCD中，设E、F分别在BC、AB上，且EF∥AC，那么图中除了△DEC本身外与其面积相等的三角形有 个．
15．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，则BC+DE＝ ．
16．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，P为边AD上的一动点，则的最小值等于 ．
三、解答题
17．计算题：
（1）2÷×；
（2）；
（3）；
（4）．
18．如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，求线段CE的长．
19．在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
20．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE＝CF．
21．如图，在等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠BEF＝∠ABC＝90°，M为AF的中点，连接ME，过B作BS⊥ME的延长线于点S．
（1）求证：CF＝2ME；
（2）若ES＝2，BS＝4，CF＝10，则四边形CFEB的面积为 ．（直接写出结果）
22．已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．
（1）若E在边AC上．
①试说明DE＝DF；
②试说明CG＝GH；
（2）若AE＝3，CH＝5．求边AC的长．
23．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）如图1，若点P在BC边上，此时PD＝0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）
24．如图1，点P是y轴正半轴上一动点，点C是x轴正半轴上的动点，过点P作PD⊥CP且CP＝PD．
（1）若点C的坐标为（6，0），点P的坐标为（0，8），求点D的坐标．
（2）如图2，在（1）的条件下，点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，6），连接AB和CB过点D作DE∥OA交射线OB于点E，连接DC交射线OB于点F，试求点F的坐标．
（3）如图2，连接CE和BD，当OC：OP＝ 时，四边形DECB与四边形PDEC的面积比为．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角互补，另一组对角相等
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一验证．
解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形
B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形
C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形
D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，注意间接条件的应用．在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
2．如果直角三角形两直角边为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A．60：13B．5：12C．12：13D．60：169
【分析】可在直角三角形中，用勾股定理求出斜边的长，然后根据三角形面积的不同表示方法，求出斜边上的高．进而可得出斜边与斜边上的高的比例关系．
解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5k，BC＝12k，
根据勾股定理有：AB＝＝13k，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝，
∴AB：CD＝13：＝169：60，
即斜边上的高与斜边的比＝60：169，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理得运用，能够根据已知条件结合勾股定理求出直角三角形的三边．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．此结论在计算中运用可以简便计算．
3．如图，E为平行四边形ABCD内一点，且EA＝EB＝EC，若∠D＝50°，则∠AEC的度数是（ ）
A．90°B．95°C．100°D．110°
【分析】由平行四边形ABCD中，∠D＝50°，可求得∠ABC的度数，又由EA＝EB＝EC，根据等边对等角的性质，可求得∠EAB+∠ECB＝∠EBA+∠EBC＝∠ABC＝50°，继而求得∠AEB+∠BEC，则可求得∠AEC的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝50°，
∵EA＝EB＝EC，
∴∠EAB＝∠EBA，∠EBC＝∠ECB，
∴∠EAB+∠ECB＝∠EBA+∠EBC＝∠ABC＝50°，
∴∠AEB+∠BEC＝（180°﹣∠EAB﹣∠EBA）+（180°﹣∠EBC﹣∠ECB）＝360°﹣（∠EAB+∠ECB+∠EBA+∠EBC）＝360°﹣100°＝260°，
∴∠AEC＝360°﹣∠AEB﹣∠BEC＝100°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与等腰三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与整体思想的应用．
4．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长是（ ）
A．16B．14C．12D．10
【分析】先利用平行四边形的性质求出AB、CD、BC、AD的值，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，即可求出四边形的周长．
解：已知AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，
根据平行四边形的性质，AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，
在△AEO和△CFO中OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，
所以△AEO≌△CFO，OE＝OF＝1.5，
则EFCD的周长＝ED+CD+CF+EF＝（DE+CF）+AB+EF＝5+4+3＝12．
则EFCD的周长是12．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
5．如图，P为平行四边形ABCD内一点，且△PAB和△PAD的面积分别为5和2，则△PAC的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】过P作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，易证，其中S平行四边形ABCD＝a，则，由S△PAC＝S△PAB+S△PCB﹣S△ABC即可求解．
解：过P作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，
则＝＝＝，
设S平行四边形ABCD＝a，
即，
∴，
∴S△PAC＝S△PAB+S△PCB﹣S△ABC＝＝＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及等积法求不规则图形的面积；解题的关键是利用平行四边形的性质求得．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AC与BD相交于O，若AB＝5，AD＝3，则BD的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】根据平行四边形的性质得出BC＝AD＝3，AD∥CB，再由勾股定理确定AC＝4，利用平行四边形的性质确定AO＝CO＝2，继续利用勾股定理求解即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，AD∥CB，
∵AC⊥BC，
∴，
∴AO＝CO＝2，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】题目主要考查平行四边形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
7．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（ ）
A．2B．C．D．15
【分析】可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB＝5a，BC＝3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
则S＝5a•3x＝3b•5y．即ax＝by＝．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C＝BC＝b，B2C边上的高是•5y＝4y．
则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by＝．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．
则四边形A4B2C4D2的面积是S﹣﹣﹣﹣＝，即＝1，
解得S＝．
解法二：把空白的平移在一起，一共是6个小的平行四边形，大的平行四边形一共由15个小平行四边形构成，故阴影部分一共是9个，且面积为1，
∴平行四边形ABCD的面积＝15×＝．
故选：C．
【点评】考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
8．把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由于被开方数为非负数，可确定x﹣1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
解：由已知可得，x﹣1＜0，即1﹣x＞0，
所以，＝﹣＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x﹣1的取值范围是解答此题的关键．
9．已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）
A．40B．80C．40或360D．80或360
【分析】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况，然后根据勾股定理计算求解即可．
解：由题意可作图
左图中AC＝10，CD＝6，CD⊥AB根据勾股定理可知AD＝8∴BD＝2
∴BC2＝22+62＝40
右图中AC＝10，CD＝6，CD⊥BD，
根据勾股定理知AD＝8
∴BD＝18
∴BC2＝182+62＝360．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．
10．已知，在▱ABCD中，点M、N分别是AB、CD的中点，AN、CM交DB于P、Q两点，下列结论：①PD＝PQ＝QB； ②AP＝CQ；③CQ＝2MQ； ④SADP＝S▱ABCD．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①由于四边形ABCD是▱，那么有AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证△DPN∽△BPA，从而有DP：BP＝1：2（1），同理有BQ：DQ＝1：2（2），（1）、（2）联合可求DP＝PQ＝QB；②根据SAS易证△ADP≌△CBQ，从而有AP＝CQ；③由①中知△BQM∽△DQC，利用相似三角形的性质可求CG＝2MQ；④由①知P、Q是BD的三等分点，利用同底等高的三角形面积相等可知S△ADP＝S△ABD，而S△ABD＝S▱ABCD，易证S△ADP＝S▱ABCD．
解：①∵四边形ABCD是▱，
∴AB∥CD，
∴△DPN∽△BPA，
∴DN：AB＝DP：BP，
即DP：BP＝1：2（1），
同理有BQ：DQ＝1：2（2），
（1）、（2）联合和得：DP＝PQ＝QB，
故①正确；
②在△ADP和△CBQ中，
∵AD＝BC，∠ADP＝∠CBQ，DP＝BQ，
∴△ADP≌△CBQ，
∴AP＝CQ，
故②正确；
③由①中知△BQM∽△DQC，
∴MQ：CQ＝1：2，
即CG＝2MQ，
故③正确；
④由①知P、Q是BD的三等分点，
∴S△ADP＝S△ABD，
又∵S△ABD＝S▱ABCD，
∴S△ADP＝S▱ABCD，
故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一个平行四边形的周长为80cm，且相邻两边之比为1：3，则长边＝ 30 cm，短边＝ 10 cm．
【分析】由一个平行四边形的周长为80cm，且相邻两边之比为1：3，可设长边＝3xcm，短边＝xcm，即可得方程x+3x+x+3x＝80，解此方程即可求得答案．
解：如图，设AB＝3xcm，AD＝xcm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝xcm，CD＝AB＝3xcm，
∵平行四边形的周长为80cm，
∴AD+AB+BC+CD＝80cm，
即x+3x+x+3x＝80，
解得：x＝10，
∴AB＝30cm，AD＝10cm．
即长边＝30cm，短边＝10cm．
故答案为：30，10．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意方程思想的应用是解此题的关键．
12．在▱ABCD中，∠C的平分线交AB于点E，交DA延长线于点F，且AE＝3cm，EB＝5cm，则▱ABCD的周长为 26cm ．
【分析】首先根据题意画出图形，再根据AE＝3cm，EB＝5cm，求出AB＝8cm，然后根据平行四边形的性质，推出AB∥CD，BC∥DF，求得BC＝BE＝5cm，进而求出平行四边形ABCD的周长．
解：∵AE＝3cm，EB＝5cm，
∴AB＝8cm，
∵▱ABCD，
∴AB∥CD，BC∥DF，AB＝CD＝8cm，BC＝AD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∵CF是∠C的角平分线，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5cm，
∴AD＝5cm，
∴▱ABCD的周长＝2BC+2AB＝10+16＝26cm．
故答案为26cm．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，平行四边形的性质，关键在于根据相关的性质定理推出BA和BC的长度．
13．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝75°．AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED＝ 65 °．
【分析】由DE＝2AB，可作辅助线：取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．
解：取DE中点O，连接AO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°，
∵AF⊥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴OA＝DE＝OD＝OE，
∵DE＝2AB，
∴OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO，
∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO，
∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°，
∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°，
∴∠AED+∠EAO+∠AOD＝180°，
∴∠AED＝65°．
故答案为：65°．
【点评】此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）、平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）以及等腰三角形的性质（等边对等角），难度较大，解题的关键是注意方程思想的应用．
14．如图，在▱ABCD中，设E、F分别在BC、AB上，且EF∥AC，那么图中除了△DEC本身外与其面积相等的三角形有 3 个．
【分析】根据平行四边形的性质可知AD∥BC，AB∥CD，结合题意EF∥AC，由同底等高的两个三角形面积相等即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△DEC和△AEC同底等高，
∴S△DEC＝S△AEC．
∵EF∥AC，
∴△AFC和△AEC同底等高，
∴S△AFC＝S△AEC．
∵AB∥CD，
∴△AFC和△AFD同底等高，
∴S△AFC＝S△AFD，
∴S△DEC＝S△AEC＝S△AFC＝S△AFD，即与其面积相等的三角形有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质．掌握平行线间的距离处处相等和同底等高的两个三角形面积相等是解题关键．
15．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，则BC+DE＝ 14 ．
【分析】AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，证明△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，得出∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，证出△PGH是等边三角形，得出PG＝GH，即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，得出AF+AB+BC＝BC+CD+DE，即可得出答案．
解：把AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，如图所示：
∵∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA，∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠PAF＝∠GBC＝∠GCB＝∠HDE＝∠DEH＝∠PFA＝60°，
∴△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，
∴∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，
∴△PGH是等边三角形，
∴PG＝GH，
即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，
∴AF+AB+BC＝BC+CD+DE，
∴BC+DE＝AF﹣CD+AB+BC，
∵AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，
∴BC+DE＝3+11＝14；
故答案为：14．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、多边形内角和定理等知识；证明△PGH为等边三角形是解题的关键．
16．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，P为边AD上的一动点，则的最小值等于 ．
【分析】过点P作PQ⊥AB，由平行四边形的性质结合题意可得出∠QAP＝∠QBC＝60°，进而得出AP＝2AQ，再由勾股定理可求出，即说明，进而说明当点C、P、Q三点共线时有最小值，且为CQ的长，最后根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
解：如图，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠QAP＝∠QBC＝60°，
∴AP＝2AQ，
∴，
∴，
∴当点C、P、Q三点共线时有最小值，且为CQ的长，
∴此时CQ⊥AB．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCQ＝30°，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线并理解当点C、P、Q三点共线时有最小值，且为CQ的长．
三、解答题
17．计算题：
（1）2÷×；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先化简二次根式，再统一为乘法运算进行计算即可；
（2）先化简各项，再进行加减法运算即可；
（3）各项先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（4）利用分母有理化和平方差公式计算，最后再进行加减运算即可．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝；
（3）
＝
＝；
（4）
＝
＝
＝
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
18．如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，求线段CE的长．
【分析】过B点作KF∥BG交AD于K点，再根据折叠的性质可知FG⊥AE，可证Rt△ABK≌Rt△DAE，再由勾股定理可求出AK的长，由正方形的性质即可求解．
解：过B点作BK∥GF交AD于K点，交GF于J点，由折叠的性质可知FG⊥AE，
∵KF∥BG，
∴BK⊥AE，四边形BGFK为平行四边形，
∴BK＝FG＝13，
在Rt△ABK中，，
∵∠ABK+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠ABK＝∠DAE，
在Rt△ABK与Rt△DAE中，
，
∴Rt△ABK≌Rt△DAE（ASA），
∴AK＝DE＝5，
∴CE＝CD﹣DE＝12﹣5＝7（cm）．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形．
19．在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【分析】由题意先证∠DAE＝∠BCF＝60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF．
∠DAE＝∠BCF＝60°．
∵∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF，
∠BAE＝∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF＝BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
20．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE＝CF．
【分析】由于ABCD是平行四边形，且AF平分∠BAD，所以可得AB＝BF，再由垂直平分线及角之间的转化得出CE＝CD，进而得出结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴AB＝BF，
又∵AF平分∠BAD，DE⊥AF，
∴∠AOD＝∠ADO，
又∵∠BOE＝∠AOD＝∠EDC，∠ADO＝∠E，
∴∠EDC＝∠E，
∴CE＝CD，
又∵AB＝CD，
∴BE＝CF．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，能够通过平行线的性质得出角之间的内在关系，从而得出结论．
21．如图，在等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠BEF＝∠ABC＝90°，M为AF的中点，连接ME，过B作BS⊥ME的延长线于点S．
（1）求证：CF＝2ME；
（2）若ES＝2，BS＝4，CF＝10，则四边形CFEB的面积为 40 ．（直接写出结果）
【分析】（1）延长FE至点D，使FE＝DE，连接AD，BD．由三角形中位线定理可得AD＝2ME，AD∥ME．再根据等腰直角三角形的性质可得出BE⊥DF，AB＝BC，从而可证∠ABC＝∠DBF＝90°，BD＝BF，进而得出∠CBF＝∠ABD，即证明△CBF≌△ABD（SAS），得出结论CF＝AD＝2ME；
（2）在（1）的基础上过点F作FG⊥AD于点G，交MS于点H．延长BS交AD于点I．易证∠FHE＝∠ESB＝90°，∠HFE＝∠SEB，再结合FE＝EB可证△HFE≌△SEB（AAS），得出HF＝ES＝2，HE＝BS＝4，根据勾股定理可求出，即可求出．由ME为△ADF中位线，可得出GH＝FH＝2．又根据四边形HSIG为矩形，即得出SI＝GH＝2，从而可求出BI＝6．根据三角形全等的判定和性质可得出，即可由S四边形CFEB＝S△CBF+S△BEF求出最后结果．
【解答】（1）证明：如图，延长FE至点D，使FE＝DE，连接AD，BD．
∵M为AF的中点，
∴AD＝2ME，AD∥ME．
∵△ABC和△BEF都为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BEF＝90°，AB＝BC，
∴BE⊥DF，
∴∠ABC＝∠DBF＝90°，BD＝BF，
∴∠ABC﹣∠ABF＝∠DBF﹣∠ABF，即∠CBF＝∠ABD，
∴△CBF≌△ABD（SAS），
∴CF＝AD＝2ME；
（2）解：如图，在（1）的基础上过点F作FG⊥AD于点G，交MS于点H．延长BS交AD于点I．
∵AD∥ME，
∴FG⊥ME，
∴∠FHE＝∠ESB＝90°，
∴∠HFE+∠HEF＝90°．
∵∠BEF＝90°，
∴∠SEB+∠HEF＝90°，
∴∠HFE＝∠SEB．
又∵FE＝EB，
∴△HFE≌△SEB（AAS），
∴HF＝ES＝2，HE＝BS＝4，
∴，
∴．
∵ME为△ADF中位线，
∴点H为FG中点，
∴GH＝FH＝2．
由所作辅助线可知四边形HSIG为矩形，
∴SI＝GH＝2，
∴BI＝BS+SI＝4+2＝6．
由（1）可知△CBF≌△ABD，
∴S△CBF＝S△ABD，AD＝CF＝10，
∴，
∴S四边形CFEB＝S△CBF+S△BEF＝30+10＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解题关键．
22．已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．
（1）若E在边AC上．
①试说明DE＝DF；
②试说明CG＝GH；
（2）若AE＝3，CH＝5．求边AC的长．
【分析】（1）①连接CD，推出CD＝AD，∠CDF＝∠ADE，∠A＝∠DCB，证△ADE≌△CDF即可；②连接DG，根据直角三角形斜边上中线求出CG＝EG＝GF＝DG，推出∠GCD＝∠GDC，推出∠GDH＝∠GHD，推出DG＝GH即可；
（2）求出EF＝5，根据勾股定理求出EC，即可得出答案．
解：（1）①连接CD，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝BC，
∴CD＝AD＝BD，
又∵AC＝BC，
∴CD⊥AB，
∴∠EDA+∠EDC＝90°，∠DCF＝∠DAE＝45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中
∴△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF．
②连接DG，
∵∠ACB＝90°，G为EF的中点，
∴CG＝EG＝FG，
∵∠EDF＝90°，G为EF的中点，
∴DG＝EG＝FG，
∴CG＝DG，
∴∠GCD＝∠CDG
又∵CD⊥AB，
∴∠CDH＝90°，
∴∠GHD+∠GCD＝90°，∠HDG+∠GDC＝90°，
∴∠GHD＝∠HDG，
∴GH＝GD，
∴CG＝GH．
（2）如图，当E在线段AC上时，
∵CG＝GH＝EG＝GF，
∴CH＝EF＝5，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF＝3，
∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：，
∴AC＝AE+EC＝3+4＝7；
如图，当E在线段CA延长线时，
AC＝EC﹣AE＝4﹣3＝1，
综合上述AC＝7或1．
【点评】本题考查了等腰三角形性质和判定，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．
23．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）如图1，若点P在BC边上，此时PD＝0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）
【分析】（1）证平行四边形PEAF，推出PE＝AF，PF＝AE，根据等腰三角形性质推出∠B＝∠C＝∠EPB，推出PE＝BE即可；
（2）过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF＝AM，再推出MB＝PD即可；
（3）过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF＝AM，再推出MB＝PD即可．
解：（1）结论是PD+PE+PF＝AB，
证明：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF＝AE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PE∥AC，
∴∠EPB＝∠C，
∴∠B＝∠EPB，
∴PE＝BE，
∵AE+BE＝AB，
∴PE+PF＝AB，
∵PD＝0，
∴PD+PE+PF＝AB．
（2）结论是PD+PE+PF＝AB，
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，
由（1）得：PE+PF＝AM，
∵四边形BDPM是平行四边形，
∵MB＝PD，
∴PD+PE+PF＝AM+MB＝AB．
（3）结论是PE+PF﹣PD＝AB．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运用性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好．
24．如图1，点P是y轴正半轴上一动点，点C是x轴正半轴上的动点，过点P作PD⊥CP且CP＝PD．
（1）若点C的坐标为（6，0），点P的坐标为（0，8），求点D的坐标．
（2）如图2，在（1）的条件下，点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，6），连接AB和CB过点D作DE∥OA交射线OB于点E，连接DC交射线OB于点F，试求点F的坐标．
（3）如图2，连接CE和BD，当OC：OP＝ 或 时，四边形DECB与四边形PDEC的面积比为．
【分析】（1）过点D作DG⊥y轴，利用全等三角形的判定得出△CPO≌△PDG（AAS），再由其性质得出DG＝PO＝8，GP＝CO＝6，即可求解；
（2）根据点B的坐标得出直线OB所在的直线解析式为y＝x，然后即可确定E（8，8），DE＝6＝BC，再由平行四边形的判定得出四边形DECB为平行四边形，利用其性质即可求解；
（3）过点D作DG⊥y轴，延长DE交x轴于点H，设OC＝x，OP＝y，由（1）得DG＝y，OG＝x+y，由（2）得OA＝AB＝BC＝DE＝x，分别表示出两个四边形的面积，然后解方程即可．
解：（1）过点D作DG⊥y轴，如图所示：
∴∠DG）＝∠POC＝90°，∠DPG+∠PDG＝90°，
∵点C的坐标为（6，0），点P的坐标为（0，8），
∴OC＝6，OP＝8，
∵PD⊥CP，
∴∠DPG+∠OPC＝90°，
∴∠OPC＝∠PDG，
∵CP＝PD，
∴△CPO≌△PDG（AAS），
∴DG＝PO＝8，GP＝CO＝6，
∴OG＝PO+GP＝14，
∴点D的坐标为（8，14）．
（2）∵点B的坐标为（6，6），
∴直线OB所在的直线解析式为y＝x，
由（1）得点D的坐标为（8，14），
∴E（8，8），
∴DE＝14﹣8＝6＝BC，
∵点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，6），点C的坐标为（6，0），
∴BC∥AO，
∵DE∥OA，
∴DE∥BC，
∴四边形DECB为平行四边形，
∴点F为线段CD的中点，
∵D的坐标为（8，14），点C的坐标为（6，0），
∴即F（7，7）．
（3）过点D作DG⊥y轴，延长DE交x轴于点H，
设OC＝x，OP＝y，
由（1）得DG＝y，OG＝x+y，
由（2）得OA＝AB＝BC＝DE＝x，
∵DE∥OA，DG⊥y，
∴∠DGP＝∠GOC＝∠DHO＝90°，
∴四边形DGOH为矩形，
∴DH＝GO＝x+y，
∴EH＝DH﹣DE＝y，CH＝y﹣x，
∴四边形DECB的面积为：x（y﹣x）；
四边形PDEC的面积为；
∵四边形DECB与四边形PDEC的面积比为，
∴，
整理得：，
令，
∴方程整理为35k2﹣29k+6＝0，
解得：或，
即或，
∴OC：OP＝或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．