2023版考前三个月冲刺专题练　第6练　导数的几何意义及函数的单调性

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第6练　导数的几何意义及函数的单调性


1．(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案　B
解析　f(1)＝1－2＝－1，
则切点坐标为(1，－1)，
又f′(x)＝4x3－6x2，
所以切线的斜率为
k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
所以切线方程为y＋1＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋1.
2．(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案　D
解析　因为y′＝aex＋ln x＋1，
所以y′|x＝1＝ae＋1，
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为
y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1，
所以解得
3．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)
A．ebx2|x2|，所以选项D正确；
由于二次函数y＝x2不是单调函数，
所以当x1>x2时，x>x不一定成立，所以选项A错误；
由于函数y＝ln|x|＝不是单调函数，
所以当x1>x2时，ln|x1|>ln|x2|不一定成立，所以选项C错误．
13．(2022·咸阳模拟)设实数a＝，b＝，c＝，那么a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．b>c>a
答案　C
解析　a＝，b＝，c＝，
令f(x)＝，x>1，
∴f′(x)＝
＝＝.
令g(x)＝1－－2ln x，x>1，
∴g′(x)＝－＝b.
14．(2022·内江模拟)若函数f(x)＝x2＋1与g(x)＝2aln x＋1的图象存在公切线，则实数a的最大值为(　　)
A. B．e C. D．e2
答案　B
解析　f′(x)＝2x，g′(x)＝，
设公切线与f(x)＝x2＋1的图象切于点(x1，x＋1)，
与g(x)＝2aln x＋1的图象切于点(x2,2aln x2＋1)，
∴2x1＝＝
＝，
故a＝x1x2，
∴2x1＝，
∴x1＝2x2－2x2·ln x2，
∵a＝x1x2，
故a＝2x－2xln x2，
设h(x)＝2x2－2x2·ln x(x>0)，
则h′(x)＝2x(1－2ln x)，
∴h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h()＝e，
∴实数a的最大值为e.
15．(2022·永春模拟)定义在R上的函数满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)－的解集为________．
答案　(－∞，1)
解析　构造函数F(x)＝f(x)－－，
则F(1)＝f(1)－－＝0，
F′(x)＝f′(x)－，
得f(x)－－>0，即F(x)>F(1)，
所以x的解集为(－∞，1)．
16．(2022·运城模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x＋2，若对任意的x∈(0,1]，不等式f(aln x)＋
f(ax－xex)≤4恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案　[0，e]
解析　设g(x)＝f(x)－2＝ex－e－x，
则g(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
又∵g′(x)＝ex＋e－x>0，
∴g(x)在R上单调递增．
由已知得f(aln x)－2＋f(ax－xex)－2≤0，
则g(aln x)＋g(ax－xex)≤0，
∴g(aln x)≤g(xex－ax)，
∴aln x≤xex－ax，
即a(x＋ln x)≤xex＝ex＋ln x，
又∵x∈(0,1]，
∴x＋ln x∈(－∞，1]，
令x＋ln x＝t，则et≥at，t∈(－∞，1]，
当a0时，et≥at可以转化为≥在(－∞，1]上恒成立，
令h(t)＝，则h′(t)＝≥0，
即h(t)在(－∞，1]上单调递增，h(t)max＝，
故≥，即00的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)0(或f′(x)0，则下列式子成立的是(　　)
A．f(2 022)ef(2 023)
C．f(x)是R上的增函数
D．∀t>0，f(x)0，
得exf(x)＋exf′(x)>0，
即[exf(x)]′>0，
所以函数y＝exf(x)在R上单调递增，
故e2 022f(2 022)0)，
则f′(x)＝1－＝，
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0，
所以aeb≥bln a成立，aeb≤bln a不可能成立，故C正确，D错误．
4．[T6补偿](2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1，则(　　)
A．a