2023版考前三个月冲刺专题练　第7练　函数的极值、最值

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第7练　函数的极值、最值


1．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　D
解析　|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．
则y′＝2t－＝＝.
当00恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x0；当－20时，根据题意要使x＝a是f(x)的极大值点，
则函数f(x)的大致图象如图1所示，
观察可知b>a；
　　
图1　　　　　　　图2
当ab.
综上，可知必有ab>a2成立．
4．(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)·sin x＋1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
答案　D
解析　f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x
＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π]．
令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.
因为f ＝cos ＋sin ＋1
＝2＋，
f ＝cos ＋sin ＋1＝－，
又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
所以f(x)max＝f ＝2＋，
f(x)min＝f ＝－.
5．(2019·天津)已知a∈R.设函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　)
A．[0,1] B．[0,2] C．[0，e] D．[1，e]
答案　C
解析　当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋2a
＝(x－a)2－a2＋2a.
当a≤1时，可得f(x)的最小值为
f(a)＝－a2＋2a，
令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；
当a>1时，可得f(x)的最小值为f(1)＝1≥0，满足条件，所以a≥0.
当x>1时，由f(x)＝x－aln x可得
f′(x)＝1－＝，
当a≤1时，f′(x)>0，
则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
故只需1－aln 1≥0，显然成立；
当a>1时，由f′(x)＝0可得x＝a，
易得f(x)的最小值为f(a)＝a－aln a，
令f(a)≥0，解得0或x