2023版考前三个月冲刺专题练　第14练　解三角形

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第14练　解三角形


1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，
所以AB＝3，
所以cos B＝＝＝.
2．(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵S＝absin C＝＝
＝abcos C，
∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
3．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
答案　A
解析　∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得
cos A＝＝
＝＝－，
∴＝6.
4．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)

A．346 B．373 C．446 D．473
答案　B
解析　如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.

在△A′B′C′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
5．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________.
答案　－1
解析　设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．

在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，
BD＝k＝－1.
6．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.

答案　－
解析　在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝，
∴BD＝，∴FB＝BD＝.
在△ACE中，∵AE＝AD＝，AC＝1，
∠CAE＝30°，
∴EC＝＝1，
∴CF＝CE＝1.
又∵BC＝＝＝2，
∴在△FCB中，由余弦定理得
cos∠FCB＝
＝＝－.
7．(2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　由C＝和余弦定理得
cos C＝＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
选条件①.
由ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
选条件②.
由b＝c，∴B＝C＝，A＝.
由csin A＝3，得c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，
此时c＝2.
选条件③.
由于c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
8．(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
解　(1)因为＝，
所以＝，
所以＝，
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
所以cos(A＋B)＝sin B，
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因为B∈，所以B＝.
(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，
所以sin＝sin B，
且0