2023版考前三个月冲刺专题练　第16练　数列求和及其综合应用

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第16练　数列求和及其综合应用


1．(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为(　　)
A．－24 B．－3
C．3 D．8
答案　A
解析　由已知条件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得d＝－2.
所以S6＝6×1＋＝－24.
2．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案　B
解析　设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2.
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，
解得a1＝1.
所以an＝a1qn－1＝2n－1，
Sn＝＝2n－1，
所以＝＝2－21－n.
3．(2012·新课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　)
A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830
答案　D
解析　∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，
∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，
a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，
a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，
a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，
a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)
＝10＋26＋42＋…＋234
＝＝1 830.
4．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴＝＝－，
∴数列的前100项和S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
5．(多选)(2022·北京改编)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…)．给出下列四个选项，其中正确的是(　　)
A．{an}的第2项小于3
B．{an}为等比数列
C．{an}为递减数列
D．{an}中存在小于的项
答案　ACD
解析　由题意可知，∀n∈N*，an>0，
当n＝1时，a＝9，可得a1＝3；
当n≥2时，由Sn＝，
可得Sn－1＝，
两式作差可得an＝－，
所以＝－an，
则－a2＝3，
整理可得a＋3a2－9＝0.
因为a2>0，
所以解得a2＝0，
可得an