2023版考前三个月冲刺专题练　第17练　空间几何体

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第17练　空间几何体


1．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
答案　B
解析　设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2.
2．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
答案　C
解析　如图，由已知得该棱台的高为

157．5－148.5＝9(m)，
所以该棱台的体积
V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.
3．(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
答案　A
解析　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．
设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；
当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，
所以R2＝25，
所以该球的表面积为4πR2＝100π.
综上，该球的表面积为100π.
4．(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，

则OO1⊥平面ABC，
OO1＝
＝＝，
所以三棱锥O－ABC的体积
V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝.
5．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，
又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，
故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．
取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，
则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，
此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin 60°＝.
6．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．[18,27]
答案　C
解析　方法一　如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，

依题意，得36π＝πR3，
解得R＝3.
由题意及图可得
解得
所以正四棱锥的体积V＝a2h
＝·＝(3≤l≤3)，
所以V′＝l3－＝l3(3≤l≤3)．
令V′＝0，得l＝2，
所以当3≤l0；
当2