2023版考前三个月冲刺专题练　第19练　空间向量与空间角

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第19练　空间向量与空间角[考情分析]　高考必考内容，常以空间几何体为载体考查空间角，是高考命题的重点，常与空间线、面关系的证明相结合，热点为平面与平面的夹角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．题目难度为中档题．一、异面直线所成的角例1　(1)(2022·龙岩模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的正弦值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　取线段AC的中点O，则BO⊥AC，设直三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，以点O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，M(0,0,2)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，所以＝(0,1,2)，＝(－，1,2)，cos〈，〉＝＝＝.所以sin〈，〉＝＝.故AM与BC1所成角的正弦值为.(2)(2022·毕节模拟)在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且SP＝，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　如图所示，连接AC，BD交于点O，连接SO，因为四棱锥S－ABCD为正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，由底面边长为2，可得AC＝4，所以AO＝2，在Rt△SOA中，SA＝4，AO＝2，可得SO＝＝2，又由SP＝，在Rt△SOP中，可得OP＝＝1，即点P在以O为圆心，以1为半径的圆上，所以当P为圆与OA的交点时，此时A，P两点间距离最小，最小值为AP＝1，以O为坐标原点，以OA，OB，OS所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得P(1,0,0)，B(0,2,0)，S(0,0,2)，C(－2,0,0)，则＝(1，－2,0)，＝(－2,0，－2)，可得cos〈，〉＝＝＝，所以直线BP与直线SC所成角的余弦值为.规律方法　(1)设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，设l，m的夹角为θ，则cos θ＝＝.(2)异面直线所成的角的范围为.跟踪训练1　(1)(2022·丹东模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，△ABC是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设PA＝4，则N(0,0,2)，M(，－1,0)，P(0，－2,4)，B(2，0,0)，＝(，－1，－2)，＝(2，2，－4)，cos〈，〉＝＝，则直线MN，PB所成角的余弦值为.(2)(2022·长春模拟)在矩形ABCD中，O为BD的中点且AD＝2AB，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角A－BD－C的大小为90°，则直线AO与CD所成角的余弦值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　如图，在平面ABD中过A作AE⊥BD，垂足为E，在平面CBD中过C作CF⊥BD，垂足为F.由于平面ABD⊥平面BCD，且交线为BD，所以AE⊥平面BCD，CF⊥平面ABD，设AB＝1，AD＝2，×BD×AE＝×AB×AD⇒AE＝，OE＝＝，同理可得CF＝，OF＝，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，C，D，＝，＝，设AO与CD所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.二、直线与平面所成的角例2　(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．(1)证明　在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，如图．因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE＝BF＝，故DE＝，BD＝＝，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.(2)解　由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0，)，则＝(－1,0，)，＝(0，－，)，＝(0,0，)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则有即可取n＝(，1,1)，则cos〈n，〉＝＝，所以PD与平面PAB所成角的正弦值为.规律方法　(1)设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，设直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝.(2)线面角的范围为.跟踪训练2　(2022·绍兴模拟)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，平面DCC1D1⊥平面ABCD，AD＝DD1＝D1C1＝C1C＝DC＝1. (1)求证：BD1⊥DD1；(2)求直线BD1和平面ABB1A1所成角的正弦值．(1)证明　∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥DC，又∵平面DCC1D1⊥平面ABCD，且平面DCC1D1∩平面ABCD＝DC，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面DCC1D1，取CD，C1D1，AB的中点O，E，G，OD的中点F，连接OG，OE，D1F，如图，由底面ABCD为矩形，可得OG∥AD，∴OG⊥DC，OG⊥平面DCC1D1，又∵OE⊂平面DCC1D1，∴OG⊥OE，∵ABCD－A1B1C1D1为四棱台，∴DC∥D1C1，又∵DD1＝D1C1＝C1C＝DC，∴四边形DCC1D1为等腰梯形，∴OE⊥OC，∴OC，OE，OG两两垂直，分别以射线OG，OC，OE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由于棱台的上、下底面相似，且D1C1＝DC，∴＝＝，又∵AD＝DD1＝D1C1＝C1C＝DC＝1，∴FD1＝＝＝，∴D(0，－1,0)，D1，B(1,1,0)，∴＝，＝，∴·＝0×1＋×＋×＝0，∴BD1⊥DD1.(2)解　由于棱台的上、下底面相似，且AD＝D1C1＝DC＝1，∴＝，∴A(1，－1,0)，G(1,0,0)，A1，B(1,1,0)，∴＝(0,1,0)，＝，设平面ABB1A1的法向量为m＝(x，y，z)，则∴取z＝1，则x＝，得m＝(，0,1)．由(1)知＝，设直线BD1和平面ABB1A1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.∴直线BD1和平面ABB1A1所成角的正弦值为.三、平面与平面的夹角例3　(2022·新高考全国Ⅰ改编)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2.(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求平面ABD与平面BCD夹角的正弦值．解　(1)设点A到平面A1BC的距离为h，因为直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，所以＝S△ABC·AA1＝＝，又△A1BC的面积为2，＝×2h＝，所以h＝，即点A到平面A1BC的距离为.(2)取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B.因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AE⊥BC.又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.因为AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1，又AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB.以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2.因为△A1BC的面积为2，所以2＝·A1B·BC，所以BC＝2，所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)，则＝(1,1,1)，＝(0,2,0)．设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n＝(1,0，－1)．又平面BDC的法向量可取为＝(0，－1，1)，所以cos〈，n〉＝＝＝－.设平面ABD与平面BCD的夹角为θ，则sin θ＝＝，所以平面ABD与平面BCD夹角的正弦值为.规律方法　(1)设平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，且平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈μ，v〉|＝.(2)平面与平面的夹角的取值范围为.跟踪训练3　(2022·重庆调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC，BD相交于点N，DN＝2BN＝2，PA＝AC＝AD＝3，∠ADB＝30°. (1)求证：AC⊥平面PAD；(2)若点M为PD的中点，求平面PAB与平面MAC夹角的正弦值．(1)证明　∵AD＝3，DN＝2，∠ADB＝30°，∴AN＝＝，∴AN2＋AD2＝DN2.∴∠DAN＝90°，∴AC⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，又∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AC⊥平面PAD.(2)解　以点A为原点，以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0,3)，A(0,0,0)，D(0,3,0)，M，C(3,0,0)，过B作BE∥AD交AC于点E，则＝＝＝，∴BE＝，NE＝，即AE＝，∴B，∴＝(0,0，－3)，＝，＝，＝(3,0,0)，设平面PAB与平面MAC的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，平面PAB与平面MAC夹角为θ，∴⇒可取平面PAB的一个法向量为n1＝(1，，0)，⇒可取平面MAC的一个法向量为n2＝(0,1，－1)，∴cos θ＝＝＝，则sin θ＝.∴平面PAB与平面MAC夹角的正弦值为.