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2023版考前三个月冲刺专题练 第25练 圆锥曲线的方程与性质
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第25练 圆锥曲线的方程与性质
1.(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
解析 设A(x,y),由抛物线的定义知,点A到准线的距离为12,即x+=12.
又因为点A到y轴的距离为9,即x=9,
所以9+=12,解得p=6.
2.(2019·全国Ⅱ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=0(舍去)或p=8.
3.(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+y2=1
答案 B
解析 依题意得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),
所以=(-a,-b),=(a,-b),
·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,
又C的离心率e===,
所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,
所以C的方程为+=1.
4.(2021·全国乙卷)设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 依题意,B(0,b),设椭圆上一点P(x0,y0),则|y0|≤b,+=1,可得x=a2-y,则|PB|2=x+(y0-b)2=x+y-2by0+b2=-y-2by0+a2+b2≤4b2.因为当y0=-b时,|PB|2=4b2,所以-≤-b,得2c2≤a2,所以离心率e=≤.
5.(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C的两个焦点为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线与C交于M,N两点,且cos∠F1NF2=,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 AC
解析 不妨设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).
当两个交点M,N在双曲线两支上时,如图1所示,
图1
设过F1的直线与圆D相切于点P,连接OP,
由题意知|OP|=a,又|OF1|=c,
所以|F1P|=b.
过点F2作F2Q⊥F1N,交F1N于点Q.
由中位线的性质,可得|F2Q|=2|OP|=2a,|PQ|=b.
因为cos∠F1NF2=,
所以sin∠F1NF2=,
故|NF2|=a,|QN|=a,
所以|NF1|=|F1Q|+|QN|=2b+a.
由双曲线的定义可知
|NF1|-|NF2|=2a,
所以2b+a-a=2a,所以2b=3a.
两边平方得4b2=9a2,即4(c2-a2)=9a2,
整理得4c2=13a2,所以=,
故=,即e=.
当两个交点M,N都在双曲线的左支上时,如图2所示,
图2
同理可得|F2Q|=2|OP|=2a,|PQ|=b.
因为cos∠F1NF2=,
所以sin∠F1NF2=,
可得|NF2|=a,|NQ|=a,
所以|NF1|=|NQ|-|QF1|=a-2b,
所以|NF2|=|NF1|+2a=a-2b,
又|NF2|=a,所以a-2b=a,
即a=2b,故e==.
6.(2022·全国甲卷)若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=________.
答案
解析 双曲线y2-=1(m>0)的渐近线为y=±,即x±my=0,
不妨取x+my=0,圆x2+y2-4y+3=0,
即x2+(y-2)2=1,
所以圆心为(0,2),半径r=1,
依题意知圆心(0,2)到渐近线x+my=0的距离d==1,
解得m=或m=-(舍去).
7.(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是________.
答案 13
解析 ∵椭圆的离心率为e==,
∴a=2c,
∴b2=a2-c2=3c2,
∴椭圆的方程为+=1,
即3x2+4y2-12c2=0,
不妨设左焦点为F1,右焦点为F2,如图所示,
∵|AF2|=a,|OF2|=c,
a=2c,
∴∠AF2O=,
∴△AF1F2为正三角形,
∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,DE为线段AF2的垂直平分线,
∴直线DE的斜率为,斜率的倒数为,
∴直线DE的方程为x=y-c,
代入椭圆方程3x2+4y2-12c2=0,
整理化简得13y2-6cy-9c2=0,
判别式Δ=(6c)2+4×13×9c2
=62×16×c2,
设D(x1,y1),E(x2,y2),
∴|DE|=|y1-y2|=2×
=2×6×4×=6,
∴ c=,则a=2c=,
∵DE为线段AF2的垂直平分线,根据对称性知,
|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,
∴△ADE的周长等于△F2DE的周长,
利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=|DF1|+|DF2|+|EF1|+|EF2|=2a+2a=4a=13.
8.(2022·浙江)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1b>0)的右焦点为F,上顶点为B,直线BF与C相交于另一点A,点A在x轴上的射影为A1,O为坐标原点,若=2,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意得F(c,0),B(0,b),设A(x,y),
因为=2,所以=2,
所以(c,-b)=2(x-c,y),
得即A,
因为点A在椭圆C:+=1(a>b>0)上,
所以+=1,化简得=,
所以离心率e==.
12.(多选)(2022·梅州模拟)下列关于圆锥曲线的命题中,正确的是( )
A.设A,B为两个定点,k为非零常数,||-||=k,则动点P的轨迹为双曲线
B.过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若=(+),则动点P的轨迹为椭圆
C.方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D.双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点
答案 CD
解析 对于A选项,若动点P的轨迹为双曲线,
则|||-|||0,b>0)的左、右焦点,点P在第二象限内,且满足|F1P|=a,(+)·=0,线段F1P与双曲线C交于点Q,若|F1P|=3|F1Q|,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 取F1P的中点M,如图,
(+)·=0⇒F1P⊥F2M.
由题意可得,
⇒|QF2|=,
又|F1M|=,
|QM|=-=.
由|F2M|2=|F1F2|2-|F1M|2
=|QF2|2-|QM|2,
得4c2-=-,
整理得,c2=a2,
则==.
15.(2022·宣城模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x-2y-=0平行,且双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程是________.
答案 -y2=1
解析 由题意可知,=,
直线l:x-2y-=0与x轴的交点坐标为(,0),
由双曲线的一个焦点在直线l上可知,(,0)即为双曲线的一个焦点,
故c=,则a2+b2=5,
解得a2=4,b2=1,
故双曲线方程为-y2=1.
16.(2022·杭州模拟)已知F是椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,若直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,且∠AFB=135°,记椭圆的离心率为e,则e2的取值范围是__________.
答案
解析 设F′为椭圆的另一焦点,如图,连接AF,BF,BF′,AF′,
根据椭圆和直线的对称性,可得四边形AFBF′为平行四边形,
又因为∠AFB=135°,
所以∠FAF′=45°,
在△AFF′中,|FF′|2=|AF|2+|AF′|2-2|AF|·|AF′|cos∠FAF′=(|AF|+|AF′|)2-(2+)×|AF|·|AF′|,
所以(|AF|+|AF′|)2-(2+)×2≤(|FF′|)2,
当且仅当|AF|=|AF′|时,等号成立,
即≤2,
又因为|FF′|=2c,|AF|+|AF′|=2a,
所以e2≥,
又因为e20)(焦点在x轴上)或+=1(a>b>0)(焦点在y轴上).
(2)双曲线:-=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或-=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上).
(3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).
练后反馈
题目
1
2
3
7
15
正误
错题整理:
二、椭圆、双曲线的性质
核心提炼
椭圆、双曲线的性质
(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系
①在椭圆中:a2=b2+c2;离心率为e==.
②在双曲线中:c2=a2+b2;离心率为e==.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x;焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0).
②双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c).
练后反馈
题目
4
5
6
8
9
11
12
14
16
正误
错题整理:
三、抛物线的性质
核心提炼
抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,准线方程x=-.
(2)抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,准线方程y=-.
练后反馈
题目
10
13
正误
错题整理:
1.[T12补偿](多选)(2022·衢州模拟)已知曲线C:+=1,则下列说法正确的是( )
A.若曲线C表示双曲线,则k>5
B.若曲线C表示椭圆,则10)的左焦点,椭圆E上一点P(2,1)关于原点的对称点为Q,若△PQF的周长为4+2,则离心率e=________.
答案
解析 如图,P与Q关于原点对称,
则Q(-2,-1),
∴|PQ|=2
=2,
又△PQF的周长为|PQ|+|PF|+|QF|
=4+2,
设椭圆的右焦点为M,
则由椭圆的性质可得|PF|=|QM|,
∴|QM|+|QF|=2a=4,得a=2,
将点P代入椭圆方程可得+=1,
解得b=,
∴c==,
则离心率e===.