2023版考前三个月冲刺专题练　第26练　直线与圆锥曲线的位置关系

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第26练　直线与圆锥曲线的位置关系


1．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
答案　B
解析　方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设A，
则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.
因为|BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
不妨取A(1,2)，
则|AB|＝＝＝2.
方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，
所以AF的长为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝＝＝2.
2．(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B．3 C. D．2
答案　B
解析　方法一　由题意知a＝1，b＝，c＝2，
F1(－2,0)，F2(2,0)，
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，

所以点P在以F1F2为直径的圆上，
故PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.
方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，
且|F1F2|＝2＝4.
设点P的坐标为(x0，y0)，
则解得|y0|＝.
所以△PF1F2的面积为
|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.
方法三　由二级结论焦点△PF1F2的面积
S＝＝＝3.
3．(2014·全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由已知得焦点坐标为F，
因此直线AB的方程为y＝，
即4x－4y－3＝0.
方法一　联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
方法二　联立抛物线方程得x2－x＋＝0，
故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝＝，
因此S△OAB＝|AB|·h＝.
4．(2013·全国Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由①－②得
＝－，
∴＝－.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝，
又kAB＝＝，
∴＝，∴a2＝2b2，
∴c2＝a2－b2＝b2＝9，
∴b＝c＝3，a＝3，
∴E的方程为＋＝1.
5．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　)
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
答案　BCD
解析　如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线为y＝－，所以A错误；

因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，由得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k2＝|OA|2，所以C正确；
|BP|·|BQ|＝·
＝·
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝k2＋1>5＝|BA|2，
所以D正确．
6．(2015·全国Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
答案　12
解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时
7．(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，
由题设可得x1＋x2＝.
由
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
解　(1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1，
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
由题易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得
(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
kAP＋kAQ＝＋
＝＋＝0，
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，
又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，
故k＝－1.
(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，
由题意知∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝
＝2，
解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去)．
由得x1＝，
所以|AP|＝|x1－2|＝，
同理得x2＝，
所以|AQ|＝|x2－2|＝.
因为tan∠PAQ＝2，
所以sin∠PAQ＝，
故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ
＝×××＝.

9．(2022·赤峰模拟)若椭圆＋＝1的弦被点(2,1)平分，则这条弦所在的直线方程是(　　)
A．x－2y＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋2y－4＝0 D．9x＋8y－26＝0
答案　D
解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则＋＝1，＋＝1，
两式作差可得
＝－，
所以＝－＝－
＝－＝kAB.
即弦所在直线的斜率为－，
直线方程为y－1＝－(x－2)，
整理得9x＋8y－26＝0.
10．抛物线y2＝4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是(　　)
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4
C．mn＝4 D．无法确定
答案　A
解析　抛物线的焦点F(1,0)，准线x＝－1，
设焦点弦所在直线方程为y＝k(x－1)，把它代入y2＝4x得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设焦点弦与抛物线交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，
由抛物线定义得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴m＋n＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝(x1＋x2)＋2，
mn＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1
＝(x1＋x2)＋2，∴m＋n＝mn.
11．(多选)(2022·茂名模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，P是抛物线C上第一象限的点，|PF|＝5，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是(　　)
A．点P的坐标为(4,4)
B．|QF|＝
C．S△OPQ＝
D．过点M(x0，－1)作抛物线C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为x0x－2y＋2＝0
答案　ABD
解析　对于A，因为|PF|＝5，
所以由抛物线的定义得yP＋1＝5，即yP＝4，
所以x＝4yP＝16，且点P在第一象限，
所以坐标为(4,4)，则A正确；
对于B，lPF的直线方程为y＝x＋1，
由y＝x＋1与x2＝4y联立得，Q，
由两点间的距离公式得|QF|＝，则B正确；
对于C，S△OPQ＝|OF||xP－xQ|＝×1×5＝，则C错误；
对于D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x2＝4y得，y＝，则y′＝，
MA的切线方程为y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝x－，
由x＝4y1得，y＝x－y1，
把点M(x0，－1)代入y＝x－y1得，
x0x1－2y1＋2＝0，
同理x0x2－2y2＋2＝0，
即A(x1，y1)，B(x2，y2)两点满足方程x0x－2y＋2＝0，
所以AB的方程为x0x－2y＋2＝0，则D正确．
12．(2022·玉林模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　)
A．2 B. C．4 D．2
答案　C
解析　由题意知p＝2，∵＋＝＝1，
∴1＝＋≥2，
得|AF|·|BF|≥4.
13．(2022·杭州模拟)已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H的右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若|AB|＝5，则|CD|＝______.
答案　3
解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则其渐近线方程为y＝±x，
因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，
所以a＝b，所以渐近线方程为y＝±x，
所以双曲线方程为－＝1(a>0)，
则右焦点F(a，0)，
所以直线方程为y＝3(x－a)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝3(x－a)代入－＝1(a>0)化简得，8x2－18ax＋19a2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝·
＝×＝5，解得a2＝4，即a＝2，
所以直线方程为y＝3(x－2)，
由得
由得
所以|CD|＝
＝3.
14．(2022·贵港模拟)已知斜率为k(k>0)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，若△A1BB1与△ABA1的面积之比为2，则k的值为________．
答案　2
解析　由抛物线C：y2＝4x得F(1,0)，直线AB的方程为y＝k(x－1)，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16(k2＋1)>0，
由根与系数的关系可得x1x2＝1，x1＋x2＝，
由已知和抛物线定义知＝＝＝＝2，
所以|BF|＝2|AF|，
故由焦半径公式得x2＋1＝2(x1＋1)，
即x2＝2x1＋1，
故
解得(负值舍去)．
所以k的值为2.
15．(2022·无锡模拟)如图，A1，A2是双曲线－＝1的左、右顶点，B1，B2是该双曲线上关于x轴对称的两点，直线A1B1与A2B2的交点为E.

(1)求点E的轨迹Γ的方程；
(2)设点Q(1，－1)，过点Q的两条直线分别与轨迹Γ交于点A，C和点B，D.若AB∥CD，求直线AB的斜率．
解　(1)由题意知，A1(－3,0)，A2(3,0)．
设B1(x0，y0)，B2(x0，－y0)(x0≠±3)，
则－＝1，
则直线A1B1的方程为y＝(x＋3)，
直线A2B2的方程为y＝(x－3)，
两式相乘得y2＝(x2－9)，
即y2＝－(x2－9)，
所以点E的轨迹Γ的方程为
＋＝1(x≠±3，x≠0)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
设＝λ，
则
即
代入椭圆方程，得＋＝1，
即－＋
＝1，
即－2(1＋λ)＝λ2－1，①
同理可得－2(1＋λ)＝λ2－1，②
由②－①，得－＝－，
所以3(y1－y2)＝x1－x2，
所以直线AB的斜率k＝＝.
16．(2022·玉林模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)过M，N两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由．
解　(1)将M，N的坐标代入椭圆E的方程得
解得
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x2＋y2＝R2，其中00)的准线x＝－1与x轴交于点A，F为C的焦点，B是C上第一象限内的点，则取得最大值时，△ABF的面积为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　A
解析　由题意可知，－＝－1，所以p＝2，
则y2＝4x，A(－1,0)，F(1,0)．
过点B作准线x＝－1的垂线，垂足为D，如图，

由抛物线的定义可知，＝
＝，
要使取得最大值，
则sin∠BAD取得最小值，需直线AB与C相切．
由题意知，直线AB的斜率一定存在，
故设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，
由消去y可得，
k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，
因为B是C上第一象限内的点，所以k＝1，
此时k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0为x2－2x＋1＝0，
则x＝1，故B(1,2)，
故S△ABF＝×|AF|×|yB|＝×2×2＝2.
3．[T4补偿](多选)(2022·梅州模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝，过点M(－2,1)的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有(　　)
A．椭圆的方程为＋＝1
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在2个点Q，使得·＝0
D．直线l的方程为8x－9y＋25＝0
答案　AD
解析　因为PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝，
所以c＝＝，
a＝(|PF1|＋|PF2|)＝3，则b＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1，
椭圆的焦距为2，故A正确，B错误；
由·＝0知∠F1QF2＝90°，
所以点Q在以F1F2为直径的圆上，
因为c>b，所以圆与椭圆有4个交点，故C错误；
因为过点M(－2,1)的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，
所以点M(－2,1)为弦AB的中点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得
＝－，
则kAB＝＝－·＝，
所以直线l的方程为y－1＝(x＋2)，
即8x－9y＋25＝0，故D正确．
4．[T9补偿](2022·运城模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线x－2y＋b＝0与椭圆交于P，Q两点，且PQ的中点为E，O为原点，则直线OE的斜率是________．
答案　－
解析　因为椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，
所以e＝＝＝，
所以＝，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以kPQ＝＝，E，
因为P，Q在椭圆上，
所以
两式作差得＋＝0，
即＝－，
即＝－，
即kPQ·kOE＝－，
所以kOE＝－.
5．[T16补偿](2022·重庆模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，是否存在直线l与点P，使得△ABP恰好为等边三角形，若存在，求出△ABP的面积；若不存在，请说明理由．
解　(1)依题意得＝，c＝2，
又∵a2＝b2＋c2，∴a2＝6，b2＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，等边△ABP不存在，故直线l的斜率存在．
设直线l：y＝k(x－2)，联立椭圆方程整理得
(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝(k2＋1)．
记线段AB的中点为M(x0，y0)，
则x0＝，y0＝，
又xP＝3，kMP＝－，
∴|MP|＝|x0－xP|
＝·，
要满足题目要求，则需要|MP|＝|AB|，
即·＝·(k2＋1)，
∴k＝±1，经检验k＝±1均符合题意．
∴|AB|＝，S△ABP＝.