2023版考前三个月冲刺专题练　第29练　证明、探究性问题

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第29练　证明、探究性问题[考情分析]　解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，证明问题和探究性问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现．一、证明问题例1　(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．(1)解　由题意得c＝2.①因为双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝.②又c2＝a2＋b2，③所以联立①②③得a＝1，b＝，所以双曲线C的方程为x2－＝1.(2)证明　由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝－>0，所以3－k2<0，所以x1－x2＝＝.设点M的坐标为(xM，yM)，则两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝；两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)＝k(x1＋x2)＋2t，所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2t，解得yM＝＝xM.因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－，所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.点M的坐标满足得xM＝＝，yM＝＝，故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－.所以xA＋xB＝，yA＋yB＝，因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，所以xM＝＝，yM＝＝，又点M在直线y＝x上，所以＝·，解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－.所以xA＋xB＝，yA＋yB＝，设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，yC＝＝.因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)，即y－＝－上，与y＝x联立，得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB的中点，故点M在AB上．规律方法　圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系．跟踪训练1　(2022·湖南师大附中模拟)已知F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，直线l：y＝2x＋1与C交于A，B两点．且|AF|＋|BF|＝20.(1)求C的方程；(2)设动直线m平行于直线l，且与C交于M，N两点，直线AM与BN相交于点T，证明：点T在一条定直线上．(1)解　联立方程组整理得x2－4px－2p＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，可得y1＋y2＝2(x1＋x2)＋2＝8p＋2，由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝8p＋2＋p＝9p＋2，则9p＋2＝20，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)证明　设点M(x3，y3)，N(x4，y4)，因为两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)＝4(y3－y4)，因为MN∥AB，则x3＋x4＝＝4kMN＝4kAB＝8，设点T(x0，y0)，＝λ(λ≠1)，因为MN∥AB，则＝λ，可得两式相加得x3＋x4－2x0＝λ(x1＋x2－2x0)，又因为x1＋x2＝4p＝8，则8－2x0＝λ(8－2x0)，即(4－x0)(λ－1)＝0，因为λ≠1，所以x0＝4，所以点T在定直线x＝4上．二、探究性问题例2　(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．解　(1)由题意知，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，所以P(1,1)，Q(1，－1)．设C的方程为y2＝2px(p>0)，则1＝2p，得p＝，所以C的方程为y2＝x.因为圆心M(2,0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.(2)直线A2A3与⊙M相切，理由如下：设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线A2A3与⊙M相切．当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，则＝1，即(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0，同理可得(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0，所以y2，y3是方程(y－1)y2＋2y1y＋3－y＝0的两个根，则y2＋y3＝，y2y3＝.直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，设点M到直线A2A3的距离为d(d>0)，则d2＝＝＝1，即d＝1，所以直线A2A3与⊙M相切．综上可得，直线A2A3与⊙M相切．规律方法　存在性问题的求解策略解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练2　(2022·上饶模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点(2，a)到准线的距离为a.(1)求抛物线C的方程；(2)设P(0，－2)，O为坐标原点，过点T(0,2)的直线l与抛物线C交于不同的A，B两点，问：是否存在直线l，使得·＝·，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解　 (1)由题可知⇒a＝p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)假设存在满足题意的直线l，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⇒k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，由Δ＝(4k－8)2－16k2＝64－64k>0，得k<1，由题可知·＝·⇒x1x2＋y1y2＝x1x2＋(y1＋2)(y2＋2)⇒y1＋y2＝－2，∴y1＋y2＝kx1＋2＋kx2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝＋4＝，∴＝－2⇒k＝－4<1，故存在满足题意的直线l，直线l的方程为y＝－4x＋2.