2023版考前三个月冲刺专题练　第31练　数形结合思想

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第31练　数形结合思想


1．(2020·北京)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　A
解析　半径为1，经过点(3,4)的动圆，由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3,4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin＝－1＝4.
2．(2011·课标全国)函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　D
解析　令1－x＝t，则x＝1－t.
由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.
又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt.
在同一坐标系下作出y＝和y＝2sin πt的图象，如图．

由图可知两函数图象在[－3,0)∪(0,3]上共有8个交点，且这8个交点关于原点两两对称．
因此这8个交点的横坐标的和为0，
即t1＋t2＋…＋t8＝0.
也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，
因此x1＋x2＋…＋x8＝8.
3．(2020·北京)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案　D
解析　令h(x)＝2x，g(x)＝x＋1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，如图．

由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2)．
又f(x)>0等价于2x>x＋1，
结合图象，可得x<0或x>1.
故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
4．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
答案　D
解析　如图，由题意得，＝－＝(2a＋b)－2a＝b，

故|b|＝2，故A错误；
|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，
又·＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋2a·b＝2×2cos 60°＝2，
所以a·b＝－1，故B，C错误；
设B，C的中点为D，则＋＝2，且⊥，
所以(4a＋b)⊥，故D正确．
5．(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A.－1 B.＋1
C．2 D．2－
答案　A
解析　∵b2－4e·b＋3＝0，
∴(b－2e)2＝1，
∴|b－2e|＝1.
如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点M(2,0)为圆心，1为半径的圆上，|a－b|就是线段AB的长度．

要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为－1.
6．(2012·辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　B
解析　由题意知f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，
所以函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(0)＝0，f(1)＝1，
而g(x)＝|xcos(πx)|为偶函数，
且g(0)＝g＝g＝g＝0，
在同一坐标系下作出两函数在上的图象，由图可知两函数图象在上共有6个交点，

则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为6.
7．(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
答案　(－5,0)∪(5，＋∞)
解析　在同一坐标系下作出f(x)＝x2－4x(x>0)与y＝x的图象，如图所示．

由于f(x)是定义在R上的奇函数，
利用奇函数图象关于原点对称作出x<0时的图象．
不等式f(x)>x，表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，
观察图象易得解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．
8．(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则＋＋…＋的取值范围是________．
答案　[12＋2，16]
解析　以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A1(0,1)，A2，
A3(1,0)，A4，A5(0，－1)，
A6，A7(－1,0)，A8，
设P(x，y)，
于是＋＋…＋＝8(x2＋y2)＋8，
因为cos 22.5°≤|OP|≤1，
所以≤x2＋y2≤1，
故＋＋…＋的取值范围是[12＋2，16]．

9．(2022·昆明模拟)已知a，b是函数f(x)＝(x－c)(d－x)＋1的两个零点，若a A．a C．c 答案　B
解析　令g(x)＝(x－c)·(d－x)，
易知g(x)为开口向下的二次函数，c，d是函数g(x)的两个零点，
又f(x)＝(x－c)(d－x)＋1＝0的两根为a，b，
即(x－c)(d－x)＝－1的两根为a，b，
即函数y＝g(x)的图象与y＝－1的两个交点的横坐标为a，b，画出g(x)的草图，如图，

由图可知a 10．(2022·阜阳模拟)已知P为抛物线E：y2＝2px(p>0)上一动点，F为E的焦点，点Q为圆x2－4x＋y2＋3＝0上一动点，若|PF|＋|PQ|的最小值为3，则p等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案　B
解析　x2－4x＋y2＋3＝0可转化为(x－2)2＋y2＝1，则圆心为(2,0)，半径为1.
因为|PF|＋|PQ|的最小值为3，点Q为圆(x－2)2＋y2＝1上一动点，
设抛物线E：y2＝2px(p>0)的准线为l，
则l的方程为x＝－，
过点P作PH⊥l，H为垂足，则|PF|＝|PH|，
如图，则|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|≥|QG|≥1＋.

由1＋＝3，可得p＝4.
11．(2022·石家庄模拟)已知直线y＝mx与函数f(x)＝＋1的图象有两个交点，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由f(x)＝＋1得f(x)＝＋1，
即(x－4)2＋[f(x)－1]2＝4(其中f(x)≥1)，
∴f(x)表示以(4,1)为圆心，2为半径的圆在直线y＝1上面的部分，
直线y＝mx表示过原点的直线，
当直线y＝mx与f(x)图象相切时，＝2，

解得m＝或m＝(舍)，
当直线y＝mx过点(2,1)时，m＝，
由图象可知，若直线y＝mx与函数f(x)＝＋1的图象有两个交点，
则m的取值范围为.
12．(2022·石家庄模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥PC，PA＝AC＝，BC＝a，动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．5π B．8π C．10π D．20π
答案　B
解析　将侧面PBC沿PC翻折到与侧面PAC共面，如图所示，

则动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为AB，
∵PA⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥AC，又BC⊥PC，PA＝AC，
∴∠ACB＝＋＝，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB
＝2＋a2＋2a×＝10，
解得a＝2，
∴PB＝＝
＝2，
取PB的中点O，连接AO，CO，如图，

∵PA⊥AB，PC⊥BC，
∴AO＝CO＝PB，
∴O为该棱锥的外接球的球心，
其半径R＝PB＝，
∴球O的表面积S＝4πR2＝8π.
13．(2022·郑州质检)已知点A在双曲线C：－＝1(b>0)上，且双曲线C的上、下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的角平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：y＝x－8，则|BD|的最小值为(　　)
A．2－2 B．3－2
C．4－2 D．4－4
答案　D
解析　如图所示，设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，

由BF2⊥AB且∠F1AB＝∠F2AB，
可得|AM|＝|AF2|，
故|MF1|＝|AF1|－|AM|＝|AF1|－|AF2|＝2a＝8，
故|OB|＝|MF1|＝4，则点B落在圆x2＋y2＝16上，
因为点O到直线l：y＝x－8的距离为＝4，
故|BD|的最小值为4－4.
14．(2022·莆田模拟)已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，则·的最小值为(　　)
A．16 B．12 C．5 D．4
答案　C
解析　如图，延长AC到点D，使得＝2.

因为＝λ＋(2－2λ)＝λ＋(1－λ)，所以点P在直线BD上．
取线段AC的中点O，连接OP，
则·＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝||2－4.
显然当OP⊥BD时，||取得最小值，
因为|BO|＝2，|OD|＝6，则|BD|＝4，
所以||min＝＝3，
所以·的最小值为32－4＝5.
15．已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A的坐标为(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
答案　
解析　因为(－2)2<8×4，
所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，

设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.
则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值为|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
16．(2022·邵阳模拟)已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且〈a，c〉＝，若b2－8b·c＋15＝0，则|a－b|的最小值为________．
答案　－1
解析　如图所示，设＝a，＝b，＝c，

∵b2－8b·c＋15＝0且|a|＝|c|＝1，
∴b2－8b·c＋15c2＝0，
∴(b－3c)·(b－5c)＝0，
∴(b－3c)⊥(b－5c)，
取＝3c，＝5c，
∴＝b－3c，＝b－5c，
∴点B在以F为圆心，|DE|为直径的圆上，
又∵＝a－b，
∴当点B为圆F和线段FA的交点时，
||＝|a－b|最短，
∴|a－b|的最小值为－1＝－1.

[考情分析]　数形结合是高考中常用的思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．

一、数形结合思想在函数与方程中的应用
核心提炼
用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．
练后反馈
题目
2
6
9
11





正误









错题整理：

二、数形结合求解不等式与平面向量问题
核心提炼
求平面向量或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算．
练后反馈
题目
3
4
5
7
8
14
16


正误









错题整理：

三、数形结合思想在几何图形中的应用
核心提炼
1．对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．
2．应用几何意义解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
练后反馈
题目
1
10
12
13
15




正误









错题整理：


1．[T5补偿]已知向量a，b满足|a＋b|＝3，a·b＝0，若c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，且c·a＝c·b，则|c|的最大值为(　　)
A．3 B．2 C. D.
答案　D
解析　如图，令a＝，b＝＝，

则a＋b＝＋＝，
故||＝3.
因为a·b＝0，
所以⊥，
记AB的中点为O，
所以点M在以AB为直径的圆O上．
设c＝，连接MN，
因为c＝λa＋(1－λ)b，
所以点C在直线MN上．
因为c·a＝c·b，
所以c·(a－b)＝0，
即·＝0，所以⊥.
结合图形可知，当⊥时，||即|c|取得最大值，且|c|max＝||＝.
2．[T6补偿](2022·潮汕模拟)让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的偶函数f(x)＝＋4·cos nx满足f(2π－x)＝f(x)，且当x∈[0，π]时，有f(x)＝x2，已知函数g(x)＝f(x)－a(x＋π)有且仅有三个零点，则a的取值范围是(　　)
A.∪
B.
C.∪
D.
答案　A
解析　令h(x)＝a(x＋π)，
则h(x)的图象是过点(－π，0)，斜率为a的直线．
由f(2π－x)＝f(x)可知f(x)的图象关于直线x＝π对称，

又f(x)为偶函数，在同一坐标系下画出f(x)和h(x)的图象(如图为a>0时的情况)，
g(x)有且仅有三个零点，则f(x)和h(x)的图象有且仅有三个交点．
当a＝0时，显然不成立；
当a>0时，由图象可得
解得 当a<0时，由对称性知－ 所以a的取值范围是∪.
3．[T13补偿](2022·绵阳模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点Q是C上一点，延长F1Q至点P，连接PF2，若线段PF2的垂直平分线恰好过点Q，则△PF1F2面积的最大值为(　　)
A．4 B．2 C．3 D．2
答案　A
解析　连接QF2，

因为线段PF2的垂直平分线过点Q，
所以|QF2|＝|QP|，
又因为点Q在椭圆C：＋＝1上，
所以|PF1|＝|QF1|＋|QP|＝|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，
设右焦点F2(1,0)到直线PF1的距离为d，
则＝|PF1|·d＝2d，
则当d取到最大值时，△PF1F2面积取到最大值，
设经过点F1(－1,0)的直线为l：x＝my－1，
则点F2(1,0)到直线x－my＋1＝0的距离d＝≤2，
当且仅当m＝0，即直线方程为x＝－1时取等号，
此时△PF1F2面积取到最大值4.
4．[T14补偿]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内的一点，则·(＋)的最小值为________．
答案　－
解析　以BC为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，

则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，
设P(x，y)，则有＝(－x，－y)，
＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
·(＋)＝2x2－2y＋2y2
＝2，
则当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值2×＝－.
所以·(＋)的最小值是－.
5．[T10补偿]1955年10月29日，新疆克拉玛依1号油井出油，标志着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，是市民与游客的网红打卡地，形状为椭球形，中心截面为椭圆，已知动点P在椭圆C：＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，点M满足||＝1，·＝0，则||的最小值是________．

答案　2
解析　因为||＝1，
所以点M的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆，

因为·＝0，
所以PM⊥AM，要想使||最小，只需||最小，
设P(m，n)，－6≤m≤6，
则＋＝1，
其中|AP|＝
＝＝
＝，
因为－6≤m≤6，
所以当m＝6时，|AP|＝取得最小值，|AP|min＝3，
此时||min＝＝2.
6．[T1补偿](2022·成都模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，直线l：(3－2t)x＋(t－1)y＋2t－1＝0恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线x－y－5＝0上一点M反射后到达圆C上的一点N，则|AM|＋|MN|的最小值为________．
答案　6
解析　取t＝1，t＝，

得
得A(－1，－4)，
设点A关于直线x－y－5＝0的对称点为A′(m，n)，
则
解得即A′(1，－6)，
由图知|AM|＋|MN|＝|A′M|＋|MN|
≥|A′C|－1＝6，
当且仅当A′，M，N，C四点共线时取等号，
此时|AM|＋|MN|取得最小值6.