2023版考前三个月冲刺专题练　第33练　转化与化归思想

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第33练　转化与化归思想


1．(2021·浙江)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)，若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是(　　)
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
答案　C
解析　因为f(x)＝ax2＋b，
所以f(s－t)＝a(s－t)2＋b，f(s)＝as2＋b，
f(s＋t)＝a(s＋t)2＋b.
因为f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，
所以f2(s)＝f(s－t)f(s＋t)，
即(as2＋b)2＝[a(s－t)2＋b]·[a(s＋t)2＋b]，
化简得－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，
得t＝0或2as2－at2＝2b，
易知点(s，t)的轨迹为一条直线和一条双曲线．
2．(2017·山东)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋＝1＋恒成立，
因为y＝1＋在[1，＋∞)上单调递减，
所以12，即a∈(2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于(　　)
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
答案　A
解析　∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，
∴f(－x)＝－x5－ax3－bx－8，
∴f(x)＋f(－x)＝－16，
令x＝2，则f(2)＋f(－2)＝－16，
又f(－2)＝10，
∴f(2)＝－16－10＝－26.
11．不等式t2－2at＋1≥sin x 对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]恒成立，则t 的取值范围是(　　)
A．t≤－2 或t≥2
B．t≤2
C．t≥－2
D．t≤－2 或t≥2 或t＝0
答案　D
解析　由题意t2－2at＋1≥sin x对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]恒成立，
则t2－2at＋1≥1，a∈[－1,1]，
即2at－t2≤0，a∈[－1,1]，
令f(a)＝2at－t2，
则f(a)≤0 对一切a∈[－1,1]恒成立，
则解得t≤－2或t≥2 或t＝0.
12．(多选)(2022·汕头模拟)已知定义在R上的奇函数，满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－tan πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值可以是(　　)
A．3.8 B．3.9 C．4 D．4.1
答案　AB
解析　由题意知f(x)是奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又f(2－x)＋f(x)＝0，
则f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，
令t＝－x，得f(t)＝f(t＋2)，
即f(x)＝f(x＋2)，
所以f(x)是周期为2的周期函数，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝0，
又f(1)＝－log21＝0，
所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0，
所以f(n)＝0，n∈Z，
作出y＝f(x)和y＝tan πx的图象，
其中y＝tan πx的周期是T＝＝1，
如图，由图可知当x≥－1时，从点A(－1,0)向右的10个交点依次为A，B，O，C，D，E，F，G，H，I，点J是第11个交点，J(4,0)，

设C点横坐标为x0，
显然x0∈，f ＝－log2＝2，
tan ＝1，
因此x0>，所以