2023版考前三个月冲刺专题练　第31练　数形结合思想【无答案版】

第31练　数形结合思想

1．(2020·北京)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

2．(2011·课标全国)函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

3．(2020·北京)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)

A．(－1,1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(0,1)

D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

4．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)

A．|b|＝1   B．a⊥b

C．a·b＝1   D．(4a＋b)⊥

5．(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)

A.－1  B.＋1  C．2  D．2－

6．(2012·辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

7．(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

8．(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则＋＋…＋的取值范围是________．

9．(2022·昆明模拟)已知a，b是函数f(x)＝(x－c)(d－x)＋1的两个零点，若a<b，c<d，则(　　)

A．a<b<c<d   B．a<c<d<b

C．c<d<a<b   D．c<a<b<d

10．(2022·阜阳模拟)已知P为抛物线E：y2＝2px(p>0)上一动点，F为E的焦点，点Q为圆x2－4x＋y2＋3＝0上一动点，若|PF|＋|PQ|的最小值为3，则p等于(　　)

A．5  B．4  C．3  D．2

11．(2022·石家庄模拟)已知直线y＝mx与函数f(x)＝＋1的图象有两个交点，则实数m的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

12．(2022·石家庄模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥PC，PA＝AC＝，BC＝a，动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为(　　)

A．5π  B．8π  C．10π  D．20π

13．(2022·郑州质检)已知点A在双曲线C：－＝1(b>0)上，且双曲线C的上、下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的角平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：y＝x－8，则|BD|的最小值为(　　)

A．2－2   B．3－2

C．4－2   D．4－4

14．(2022·莆田模拟)已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，则·的最小值为(　　)

A．16  B．12  C．5  D．4

15．已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A的坐标为(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．

16．(2022·邵阳模拟)已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且〈a，c〉＝，若b2－8b·c＋15＝0，则|a－b|的最小值为________.

[考情分析]　数形结合是高考中常用的思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．

一、数形结合思想在函数与方程中的应用

核心提炼

用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．

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二、数形结合求解不等式与平面向量问题

核心提炼

求平面向量或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算．

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三、数形结合思想在几何图形中的应用

核心提炼

1．对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．

2．应用几何意义解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．

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1．[T5补偿]已知向量a，b满足|a＋b|＝3，a·b＝0，若c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，且c·a＝c·b，则|c|的最大值为(　　)

A．3  B．2  C.  D.

2．[T6补偿](2022·潮汕模拟)让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的偶函数f(x)＝＋4·cos nx满足f(2π－x)＝f(x)，且当x∈[0，π]时，有f(x)＝x2，已知函数g(x)＝f(x)－a(x＋π)有且仅有三个零点，则a的取值范围是(　　)

A.∪

B.

C.∪

D.

3．[T13补偿](2022·绵阳模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点Q是C

上一点，延长F1Q至点P，连接PF2，若线段PF2的垂直平分线恰好过点Q，则△PF1F2面积的最大值为(　　)

A．4  B．2  C．3  D．2

4．[T14补偿]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内的一点，则·(＋)的最小值为________．

5．[T10补偿]1955年10月29日，新疆克拉玛依1号油井出油，标志着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，是市民与游客的网红打卡地，形状为椭球形，中心截面为椭圆，已知动点P在椭圆C：＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，点M满足||＝1，·＝0，则||的最小值是_______．

6．[T1补偿](2022·成都模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，直线l：(3－2t)x＋(t－1)y＋2t－1＝0恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线x－y－5＝0上一点M反射后到达圆C上的一点N，则|AM|＋|MN|的最小值为________．