2023版考前三个月冲刺专题练　第16练　数列求和及其综合应用课件PPT

这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第16练　数列求和及其综合应用课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了专项典题精练，解得d＝－2，因为a20，由①－②得，因为当n≥2时，解得n＝2022，练后疑难精讲，练后反馈，易错对点精补，所以an＝n等内容，欢迎下载使用。

1.(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为A.－24 B.－3 C.3 D.8
由已知条件可得a1＝1，d≠0，
2.(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则 等于A.2n－1 B.2－21－nC.2－2n－1 D.21－n－1
设等比数列{an}的公比为q，
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，解得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，
3.(2012·新课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，
5.(多选)(2022·北京改编)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…).给出下列四个选项，其中正确的是A.{an}的第2项小于3B.{an}为等比数列C.{an}为递减数列D.{an}中存在小于 的项
由题意可知，∀n∈N*，an>0，
假设数列{an}为等比数列，设其公比为q，
解得q＝0，不合题意，故数列{an}不是等比数列，B错；
可得an6.(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____；如果对折n次，那么 ＝_____________ dm2.
依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；
所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，
所以S4＝15×5＝75；……
7.(2021·新高考全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
因为bn＝a2n，且a1＝1，
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1.
(2)求{an}的前20项和.
所以当k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，a2k＋1＝a2k＋2＝a2k－1＋1＋2＝a2k－1＋3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；由(1)可得数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
又S1＝1也满足上式，
又a1＝1也满足上式，
9.(2022·沈阳模拟)在数列{an}中，a1＝2，a2＝2且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，S100等于A.0 B.1 300 C.2 600 D.2 650
当n为奇数时，an＋2－an＝0，所以数列{an}的奇数项是以0为公差的等差数列，当n为偶数时，an＋2－an＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为公差的等差数列，
A.2 021 B.2 022C.2 023 D.2 024
因为a1＝1，an－an－1－n＝0(n≥2)，则an－an－1＝n(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，
11.(2022·茂名质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3Sn＝4an－1(n∈N*).记bm为数列{an}在区间(0，m](m∈N*)内的项的个数，则数列{bm}的前100项的和为A.315 B.319 C.314 D.316
由题意知3Sn＝4an－1(n∈N*)，则当n≥2时，3Sn－1＝4an－1－1，于是得3an＝4an－4an－1，即an＝4an－1，由3a1＝3S1＝4a1－1解得a1＝1，因此数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，且an＝4n－1，因为bm为数列{an}在区间(0，m](m∈N*)内的项的个数，则有b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝…＝b15＝2，b16＝b17＝…＝b63＝3，b64＝b65＝…＝b100＝4，所以数列{bm}的前100项的和为1×3＋2×12＋3×48＋4×37＝319.
A.数列{an}的通项公式为an＝3n－1B.Sn＝3n－1
由题知S2＝a1＋a2＝4a1，
解得a1＝2，所以an＝2×3n－1，故A错误；
13.(多选)(2022·浙江山水联盟联考)数列{an}满足an＋1＝ (n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是A.B. 是等比数列C.(2n－1)an＝1 D.3a5a17＝a49
依此类推可知，对任意的n∈N*，an>0，
则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，故C对；
所以数列 是等比数列，故B对；
所以3a5a17≠a49，故D错.
A.1 180 B.1 179 C.2 020 D.2 021
令n＝1，得4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.
由①－②可得an＝Sn－Sn－1
整理得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，根据an>0可知an－an－1＝2(n≥2)，
则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
当n∈[1,505]时，4n－2<2 022，bn＝1；当n∈[506,1 011]时，2 022≤4n－2<4 044，bn＝2；当n∈[1 012,1 516]时，4 044<4n－2<6 066，bn＝3.∵T1 011＝505＋506×2＝1 517，(2 022－1 517)÷3≈168.3，∴使Tn≥2 022成立的n的最小值为1 011＋169＝1 180.
15.(2022·韶关模拟)在①an＋1＝an＋2n，a1＝2；②Sn＝2an－2；③Sn＝2n＋1－2这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列{an}的前n项和为Sn，______，数列{bn}是等差数列，b1＝1，b2＋b4＋b6＝21.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
若选①：由an＋1＝an＋2n得an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a3－a2＝22，a2－a1＝21，
又a1＝2，所以an＝2n.若选②：Sn＝2an－2，当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)，
若选③：Sn＝2n＋1－2，当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，由Sn＝2n＋1－2可得Sn－1＝2n－2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n，所以an＝2n.经检验，当n＝1时，an＝2n也成立，所以an＝2n，设等差数列{bn}的公差为d，
由题意知b1＝1，b2＋b4＋b6＝21，即b1＋d＋b1＋3d＋b1＋5d＝21，解得d＝2，从而bn＝2n－1.
(2)设cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
由(1)可得cn＝(2n－1)2n，则Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－1)×2n＋1，两式相减得－Tn＝1×21＋(2×22＋2×23＋…＋2×2n)－(2n－1)×2n＋1，
＝(3－2n)2n＋1－6，整理得Tn＝(2n－3)2n＋1＋6.
16.(2022·杭师大附中模拟)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝nan(n∈N*)，且数列{bn}的前n项和为(n－1)Sn＋2n.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
由题意得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n，①当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝S2＋4＝a1＋a2＋4⇒a2＝4；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②①－②得，nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝Sn＋(n－2)an＋2⇒Sn＝2an－2(n≥2)，
当n＝1时，a1＝2，也适合上式，所以Sn＝2an－2(n∈N*)，所以Sn－1＝2an－1－2，两式相减得an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.
(2)抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n－2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，数列{cn}的前n项和为Tn，求证： .
数列{cn}为22，23，25，26，28，29，…，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列.所以当n＝2k－1(k∈N*)时，Tn＝c1＋c2＋…＋c2k－1＝(c1＋c3＋…＋c2k－1)＋(c2＋c4＋…＋c2k－2)＝(22＋25＋…＋23k－1)＋(23＋26＋…＋23k－3)
因为5·8k－12≥28，
当n＝2k(k∈N*)时，Tn＝c1＋c2＋…＋c2k＝(c1＋c3＋…＋c2k－1)＋(c2＋c4＋…＋c2k)＝(22＋25＋…＋23k－1)＋(23＋26＋…＋23k)
因为3·8k－3≥21，
考情分析高考常考内容，主要考查等差、等比数列与常见数列求和的综合应用，主要以解答题的形式出现，属于中档题.
一、an与Sn的关系核心提炼1.数列{an}中，an与Sn的关系
2.求数列通项公式的常用方法：(1)公式法：利用等差(比)数列的公式求通项公式.(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项公式an.
(3)在已知数列{an}中，满足 ＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项公式an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).
二、数列求和核心提炼数列求和常见方法：(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}一个是等差数列，一个是等比数列.
(3)裂项相消法：将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 的数列.
三、数列的综合应用核心提炼数列与函数、不等式的交汇：数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.
1.[T7补偿](2022·沈阳模拟)已知数列{an}满足an＝ 则数列{an}的前10项和为
则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a9＋a10＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)
3.[T12补偿](多选)(2022·青岛模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1， ，记bn＝(－1)n ，cn＝[lg an]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 0.9]＝0，[lg 99]＝1，则下列说法正确的是A.an＝nC.b1＋b2＋…＋b100＝5 050D.c1＋c2＋c3＋…＋c1 000＝1 893
由Sn为等差数列{an}的前n项和，
又a1＝1，设等差数列{an}的公差为d，
解得d＝1，所以an＝n，故A正确；
由选项A可知bn＝(－1)nn2，所以b2n＝4n2，b2n－1＝－(2n－1)2，所以b2n＋b2n－1＝4n2－(2n－1)2＝4n－1，即数列{b2n＋b2n－1}是首项为3，公差为4的等差数列，
所以b1＋b2＋…＋b100＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b99＋b100)
由选项A可知cn＝[lg an]＝[lg n]，当n∈[1,9]且n∈N*时，cn＝0；当n∈[10,99]且n∈N*时，cn＝1；当n∈[100,999]且n∈N*时，cn＝2；当n＝1 000时，cn＝3，所以c1＋c2＋c3＋…＋c1 000＝9×0＋90×1＋900×2＋3＝1 893，故D正确.
4.[T6补偿](2022·重庆质检)龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直(即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现).例如第一代龙曲线(图1)是以A1A2为斜边画出等腰直角三角形的直角边A1A3，A3A2所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线(虚线即为前一代龙曲线).A1，A2，A3为第一代龙曲线的顶点，设第n代龙曲线的顶点数为an，由图可知a1＝3，a2＝5，a3＝9，则a4＝ ___；数列 的前n项和Sn＝___________.
由题意可知，第n＋1代龙曲线是在将2个第n代龙曲线的首尾顶点相接，则an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，所以数列{an－1}是等比数列，且首项为a1－1＝2，公比为2，则an－1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n＋1，则a4＝24＋1＝17，
问题：设数列{an}的前n项和为Sn，_______，若bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n，又当n＝1时满足an＝n，所以an＝n，所以bn＝ ，
若选②：an＋1＝2an－an－1，S7＝4a7＝28，
可得数列{an}是等差数列，设数列{an}的公差为d，
即an＝na1，又由S3＝a1＋a2＋a3＝6a1＝6，a1＝1，所以an＝n，