2023年广东省深圳市光明区中考一模数学试卷及答案

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2023年广东省深圳市光明区一模数学试卷
第一部分 选择题
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1. 下列四个数中，最大的负数是（　　）
A. B. C. 0 D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】先找到四个数中的负数，然后根据两个负数比大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：、、0、2023四个数中，、为负数，
因为，
所以，
所以最大的负数是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了负数的概念及负数的大小比较，掌握两个负数比大小，绝对值大的数反而小是本题的解题关键．
2. 如图的五个甲骨文中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：如图：

第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第五个图形不是轴对称图形，是中心对称图形
∴既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的共1个
故选：A．
【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 下列运算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的运算法则、幂的乘方的性质、二次根数的性质及分式的约分依次计算各项后即可解答．
【详解】选项A，，选项A错误；
选项B，，选项B错误；
选项C，，选项C错误；
选项D，，选项D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的运算法则、幂的乘方的性质、二次根数的性质及分式的约分，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
4. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于
C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于
【答案】D
【解析】
【分析】找出必有一个内角小于或等于的反面即可．
【详解】解：必有一个内角小于或等于的反面为：每一个内角都大于．
故选D
【点睛】本题考查了反证法，准确找出命题的反面是解题关键．
5. 如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE=DE，则∠C的度数是（ ）

A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠AEC，根据等边对等角可得∠C=∠D，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=2∠C，然后求解即可．
【详解】解：∵AB∥CE，
∴∠AEC=∠A=40°，
∵CE=DE，
∴∠C=∠D，
∴∠AEC=∠C+∠D=2∠C，
∴∠C=∠AEC=×40°=20°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
6. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 当x≠－1时， 有意义
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D. 若a＜b则一定成立
【答案】C
【解析】
【分析】由分别使分式和二次根式有意义的条件，即可判断A；由矩形的判定条件，即可判断B；由三角形垂心的性质，即可判断C；当m=0时，，即可判断D．
【详解】A．当，即时，有意义，故该选项错误，不符合题意．
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项错误，不符合题意．
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，正确，符合题意．
D．当m=0时，则，故该选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查使分式和二次根式有意义的条件，矩形的判定，三角形垂心的性质等知识．熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
7. 疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用在线上买菜，某买菜今年一月份新进册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设每月的平均增长率为x，根据题意列出方程200 (1+x)2=338求解即可．
【详解】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率x，由题意，得
200 (1+x)2=338，
1+x=+1.3，
x=0.3或x=-2.3 (舍去) .
所以二、三两个月新注册用户每月平均增长率是0.3即30%，
故答案选：D．
【点睛】本题考查的是列一元二次方程解增长率的数学实际问题，关键清楚增长前为200元，两个月后为338元，从而求出解．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，再利用平行四边形的性质即可证明，即，即可求出，最后在中，利用勾股定理即可求出AE的长．
【详解】根据作图可知DE为的角平分线，即，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．理解题意，判断出DE为的角平分线是解答本题的关键．
9. 二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，则函数y＝ax＋b和y＝的大致图像是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由的开口向下，对称轴是直线x＝1，与轴交于正半轴，判断的符号，再确定的图像分布，从而可得答案．
【详解】解： 的开口向下，对称轴是直线x＝1，与轴交于正半轴，
＜ ＞ ＞

即的图像过一，二，四象限，且过
的图像在一，三象限，
选项 ：的图像过一，二，四象限，且过 的图像在一，三象限，符合题意，
选项 ：的图像过一，二，四象限，但不过过 的图像在一，三象限，不符合题意，
选项 ：的图像过一，二，三象限，但不过过 的图像在一，三象限，不符合题意，
选项 ：的图像过一，二，四象限，过的图像在二，四象限，不符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的图像与性质，掌握利用函数图像分析问题是解题的关键．
10. 如图，在中，D是BC边上的中点，连接AD，把沿AD翻折，得到，与AC交于点E，若，，，则的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过A作AF⊥CB延长线于F，由折叠性质得出B′D⊥CF，由等腰直角三角形的性质得出AF，DF的长度，再根据△CDE∽△CFA求得DE的长即可解答；
【详解】解：如图，过A作AF⊥CB延长线于F，

∵∠ADB=45°，
∴∠ADB′=∠ADB=45°，
∴B′D⊥CF，
Rt△ADF中，∠ADF=45°，AD=，则DF=AF=3，
∵AF⊥CF，
∴AF∥B′D，
∴△CDE∽△CFA，
∴CD∶CF=DE∶AF，
∵CD=2，CF=5，AF=3，
∴DE=，
∴△ADE的面积=，
故选： A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
11. 因式分解：2a2﹣8=_____．
【答案】2（a+2）（a－2）．
【解析】
【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．
故答案为2（a+2）（a－2）．
考点：因式分解．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12. 在一个不透明的口袋中装有4个只有颜色不同的球，其中红球1个，白球2个，黄球1个，搅匀后随机摸出两个球，恰好都是白球的概率是_____________
【答案】
【解析】
【分析】画树状图找出所有出现的情况，以及抽出两个球都是白球的情况，然后利用概率公式求解 ．
【详解】解：一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，搅匀后从布袋里摸出2个球，所有情况共有12中，其中白球只有2个，抽出2个都是白球的情况2种，


搅匀后随机摸出两个球，恰好都是白球的概率是P=．
故答案为：．
【点睛】本题考查画树状图或列表求概率，掌握概率的意义，树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
13. 如图，直角中，，根据作图痕迹，若，，则________cm．

【答案】
【解析】
【分析】先解直角三角形ABC求出BC的长，从而求出AB的长，再由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，即可得到BE的长，再解直角△BED即可得到答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，，
∴，
∴BC=4cm，
∴，
由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE是线段AB的垂直平分线是解题的关键．
14. 如图，点A是函数（）的图象上任意一点，轴交函数（）的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，且，C、D在x轴上，则________．

【答案】-3
【解析】
【分析】首先把平行四边形ABCD转化为矩形，然后根据k的几何意义求解．
【详解】解：过点B作BM⊥x轴，过点A作AN⊥x轴，则∠BMC＝∠AND＝90°，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴∠BCM＝∠ADN，
在△BCM和△ADN中
，
∴△BCM≌△ADN，
∴S▱BCDA＝S矩形BMNA＝5，
又∵S矩形BMNA＝−k＋2＝5，
∴k＝−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了反比例函数k几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与k相关的矩形或三角形）的能力．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若，，．则AF长为________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，延长AF交DC的延长线于点G，过点G作于点H，由四边形ABCD是平行四边形得 ， ，进而证明，再计算得，，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长AF交DC的延长线于点G，过点G作于点H，

四边形ABCD平行四边形，，，
，，，
， ，
E为CD中点，连接BE，F为BE中点，
，，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定及性质和勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分，请把答案填到答题卡相应位置上）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行运算，即可得到答案．
【详解】
＝
＝3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的混合运算，熟记运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中x＝1
【答案】；1
【解析】
【分析】将括号内通分化简，括号外利用完全平方式变形，再进行约分即可化简．将x=1代入化简后的式子，求值即可．
【详解】原式=


当x=1时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
18. 深圳中小学现已开展延时服务，某校为了解学生的兴趣，现随机抽取部分学生进行问卷调查后（每人只能选一种）将调查结果绘制成如图所示的统计图：

（1）本次随机调查了　　　　　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角为　　　　　度；
（4）若该学校共有学生2400名，则选择“D：其它”的学生大约有　　　　　名．
【答案】（1）80 （2）见解析
（3）90 （4）240
【解析】
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数减去A、C、D的人数即可求出B类别人数，从而补全图形；
（3）用乘以C类别人数所占比例即可；
（4）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：本次随机调查的学生人数为（名），
故答案为：80；
【小问2详解】
解：B类别人数为（名），
补全图形如下：
；
【小问3详解】
解：扇形统计图中，C类所对应的圆心角为，
故答案为：90；
【小问4详解】
解：选择“D：其它”的学生大约有（名），
故答案为：240．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 如图，AB是的直径，弦，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使，连接AF交于点D，连接BD，BF．

（1）求证：直线BF是的切线；
（2）若AF长为，求BD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OC、OF，证明四边形OFBC是平行四边形，则BF∥OC，根据AC=BC，得到OC⊥AB，∠ABF=∠BOC=90°，可证明BF是⊙O的切线；
（2）由AB是⊙O的直径得∠ADB=∠ACB=90°，则∠CAB=∠CBA=45°，可证明FB=OB=OA=AB，根据勾股定理求出AB、BF的长，再根据三角形的面积公式即可求出BD的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接OC、OF，

∵EF=CE，OE=BE，
∴四边形OFBC是平行四边形，
∴BF∥OC，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠ABF=∠BOC=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，
∴直线BF是⊙O的切线；
【小问2详解】
如图，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BFO=∠OCB=45°，
∵OF∥BC，
∴∠BOF=∠OBC=45°，
∴∠BFO=∠BOF，
∴FB=OB=OA=AB，
∵FB2+AB2=AF2，且AF=5，
∴（AB）2+AB2=（5）2，
∴AB=2，
∴FB=AB=，
∴⊙O的半径为，
∵S△ABF=AB•BF=AF•BD，
∴2×=5×BD，
∴BD=2．
【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
20. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000
（2）销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元
【解析】
【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【小问1详解】
设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（40，600），（80，200）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
【小问2详解】
由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，
配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值为9000，
答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．
21. 如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），点D是上一点，连接CD交AB于E．
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求的大小；
（2）如图2，若点B恰好是中点，求证：；
（3）如图3，将CD分别沿BC、AC翻折到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，若是请求出这个值，若不是，请说明理由；

【答案】（1）70°；（2）见解析；（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理求出∠CAB=∠CDB=40°，由三角形内角和定理可得出答案；
（2）证明△BCE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，证明CB=CE，则可得出结论；
（3）由折叠的性质可得出∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，过点C作CQ⊥MN于点Q，得出MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°，证明△ABP≌△NQC（AAS），由全等三角形的性质得出AB=NQ=MN，则可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴∠CAB=∠CDB=40°，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠ABC=∠ACB=α，
∴α=×(180°−40°)=70°；
（2）证明：∵点B是的中点，
∴，
∴∠DCB=∠A，
∵∠ABC=∠CBE，
∴△BCE∽△BAC，
∴，
∴BC2=BE•BA，
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BEC=∠ACD+∠A，∠BCD=∠A，
∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，
∴CB=CE，
∴CE2=BE•BA；
（3）是定值，．
∵将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，
∴∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，
∴∠MCN=2∠ACB=2α，
如图3，过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，

连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°，
∵，
∴∠P=∠ACB=∠NCQ=α，
在△ABP和△NQC中
，
∴△ABP≌△NQC（AAS），
∴AB=NQ=MN，
∴，为定值．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
22. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明．

（1）独立思考：请解答老师提出的问题；
（2）实践探究：希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明．
（3）问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点H，折痕交于点M，连接，交于点N．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1），证明见解析
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，作交于H，证明垂直平分线段即可；
（2）证明四边形是平行四边形即可；
（3）如图，过点D作于点J，过点M作于T，根据求解即可．
【小问1详解】
，
证明：如图，作交于H，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
，
证明：如图，连接，

是由翻折得到，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
；
【小问3详解】
如图，过点D作于点J，过点M作于T，

，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．