2022-2023学年浙江省杭州第二中学高三下学期3月月考试题数学含答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州第二中学高三下学期3月月考试题数学含答案，共20页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  杭州二中2022学年第二学期高三年级3月考试数学试卷第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知复数的实部为，则的值为（    ）A. 2 B. 4 C.  D. 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 4. 2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 已知，，，，过点作垂直于点，点满足，则的值为（    ）A.  B. C.  D. 6. 已知，则的大小关系为（    ）A  B. C.  D. 7. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（    ）A.  B.  C.  D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（    ）A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为1610. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是（    ）A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是C. 的最大值为 D. 是区间上的减函数11. 已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，则以下结论正确的是（    ）A. 异面直线、所成角的大小为B. 直线与平面所成角的正弦值为C. 周长的最小值为D. 存在点使得平面12. 已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ）A.  B. 周期C. 在单调递减 D. 满足第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13. 已知抛物线E：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，为的中点，且，则__________.14. 在的展开式中的系数为，则_______．15. 已知正实数满足，则的最小值是___________.16. 函数，其中为实数，且.已知对任意，函数有两个不同零点，取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．18. 已知数列满足．（1）求证：是等差数列；（2）令（表示不超过最大整数．提示：当时，），求使得成立的最大正整数的值．19. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．（1）证明：平面平面BCE；（2）若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．20. 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.（1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.（i）假设面包师说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布，则，；②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.21. 已知抛物线，开口向上的抛物线与有一个公共点，且在该点处有相同的切线，（1）求所有抛物线的方程；（2）设点P是抛物线上的动点，且与点T不重合，过点P且斜率为的直线交抛物线于两点，其中，问是否存在实常数，使得为定值？若存在，求出实常数；若不存在，说明理由.22. 已知.（1）当时，求最大值；（2）若存在使，得关于的方程有三个不相同的实数根，求实数的取值范围.            2022学年第二学期高三年级3月考试数学试卷第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D2. 已知复数的实部为，则的值为（    ）A. 2 B. 4 C.  D. 【答案】B3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C4. 2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D5. 已知，，，，过点作垂直于点，点满足，则的值为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D6. 已知，则的大小关系为（    ）A.  B. C  D. 【答案】A7. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B8. 已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（    ）A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16【答案】AD10. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是（    ）A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是C. 的最大值为 D. 是区间上的减函数【答案】BC11. 已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，则以下结论正确的是（    ）A. 异面直线、所成角的大小为B. 直线与平面所成角的正弦值为C. 周长的最小值为D. 存在点使得平面【答案】BC12. 已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ）A.  B. 周期C. 在单调递减 D. 满足【答案】AC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13. 已知抛物线E：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，为的中点，且，则__________.【答案】##1.514. 在的展开式中的系数为，则_______．【答案】215. 已知正实数满足，则的最小值是___________.【答案】16. 函数，其中为实数，且.已知对任意，函数有两个不同零点，的取值范围为____________.【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．【答案】（1）序号组合为①②③，①②④    （2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）判断出③，④不能同时存在，由此确定正确答案.（2）选①②③，则利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积；选①②④，则利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积.【小问1详解】对于③，；对于④，，即，且，则，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．【小问2详解】选①②③：时，由余弦定理：，整理得：且，则，的面积为．选①②④：时，由余弦定理：，整理得：，则，的面积．18. 已知数列满足．（1）求证：是等差数列；（2）令（表示不超过的最大整数．提示：当时，），求使得成立的最大正整数的值．【答案】（1）证明见解析    （2）9【解析】【分析】（1）根据递推关系，结合等差数列定义证明即可；（2）结合（1）得，故，再根据函数的单调性得当时，，进而解时，即可得答案.【小问1详解】证明：因为，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知，，即，所以．令函数，所以，当时，单调递增；当时，单调递减．注意到：，两边同时取对数，即，所以当时，，即，特别地，时，；当时，；当时，；当时，；当时，，则．显然使得成立的最大正整数的值大于5，则时，，所以满足条件的的最大值为9．19. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．（1）证明：平面平面BCE；（2）若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．【答案】（1）证明见解析；    （2）.【解析】【分析】（1）线面垂直的性质可得，若为中点，连接，由正方形的性质及勾股定理可得，再由线面垂直的性质有面，最后根据面面垂直的判定证结论.（2）构建空间直角坐标系，设求相关点坐标，再求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示，结合二面角的余弦值求参数m，最后求、向量法求到面的距离，再由体积公式求棱锥的体积.【小问1详解】因为底面ABCD，面，则，由，，则，又，则，若为中点，连接，易知：为正方形，则，又，即，所以，综上，，即，又，则面，又面，所以平面平面BCE.【小问2详解】由题设，可构建如下图示的空间直角坐标系，若，则，，，，，所以，，，若为面的一个法向量，则，令，则，若为面的一个法向量，则，令，则，所以，整理得，所以，即，易得：，由底面ABCD，面，则，又，即，由，则面，面，即，所以在直角△中，，在△中，、、，即，则，所以.由上有：且面的一个法向量，则，故到面的距离，所以.20. 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.（1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布，则，；②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.【答案】（1）（i）；（ii）理由见解析.    （2）012【解析】【分析】（1）（i）由正太分布的对称性及原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.【小问1详解】（i）因为，所以，因为，所以，因为，所以；（ii）由第一问知，庞加莱计算25个面包质量的平均值为，，而，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；【小问2详解】设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,则；，，故分布列为：012其中数学期望21. 已知抛物线，开口向上的抛物线与有一个公共点，且在该点处有相同的切线，（1）求所有抛物线的方程；（2）设点P是抛物线上的动点，且与点T不重合，过点P且斜率为的直线交抛物线于两点，其中，问是否存在实常数，使得为定值？若存在，求出实常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）（且    （2）存在，.【解析】【分析】（1）设，根据题意结合导数的几何意义，得到，再由过点，求得，即可求得抛物线的方程；（2）根据题意得到即为公共点T处的切线，得出，设，求得切线方程为，联立方程组，得到，令，得到，并代入整理得，根据根与系数的关系，化简求得为定值，分和，两种情况讨论，结合，得到在点的两侧和同侧，进而得到答案.【小问1详解】解：设，可得，抛物线，可得，因为抛物线与有一个公共点，且在该点处有相同的切线，可得，即，所以，因为抛物线过点，代入可得，即满足条件的即抛物线的方程为且.【小问2详解】解：当时，若为常数，则，此时即为公共点T处的切线，故若存在，则.下面证明：时，为常数，设，则切线方程为，联立方程组，整理得 ，设，则，令，可得，所以，代入上式得，即，可得，所以，则，所以为定值，且，①当时，由，可得在点的两侧，所以，令，可得，即，解得，因为，所以为定值；②当时，由，可得在点的同侧，所以，因为，所以为定值，综上可得，存在时，使得为定值.【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的常见策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22. 已知.（1）当时，求的最大值；（2）若存在使，得关于的方程有三个不相同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可求出最值.（2）验证不是方程的根，将原方程的根等价于的根，记，，令，令，讨论的取值， 利用导数求出函数的最值，通过比较即可确定答案.【详解】（1）当时，， 即当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以（2），经验证不是方程的根，所以原方程的根等价于的根，记，，令，，单调递减，令，即，令为极大值点，其在上单调递增，在上单调递减，当，，所以在无实数根当时，……①有两个极值点，且，即，故，所以，存在使①有三个实根所以满足条件.当，的分子中，，显然，所以①仅有一个正根，要使有两个负根，则﹐综上所﹐即.【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根、利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.