2023年甘肃省中考数学密卷（一）（含答案）

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 2023年甘肃省中考密卷数学（一）
满分150分（120分） 考试时间120分钟
一．选择题【本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选修中，只有一项是复合题目要求的】
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3
C．a﹣（b﹣a）＝2a﹣b D．（﹣a）3＝﹣a3
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据3亿用科学记数法表示为（　　）
A．3×105 B．3×106 C．3×107 D．3×108
4．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：25，26，27，26，27，28，29，26，29．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．26，27 B．26，28 C．27，27 D．27，29
5．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（　　）
第5题图 第6题图
A．90° B．105° C．120° D．135°
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）
A．27° B．108° C．116° D．128°
7．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（　　）
A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（m，n） D．（m，n）或（﹣m，﹣n）
8．给出下列函数：①y＝﹣3x+2：②y＝；③y＝﹣：④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（　　）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
9．定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（　　）

A B C D
二、选择题【本大题共8个小题，每小题4分（3分），共32分（24分）。请把答案填写在题中的横线上】
11．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，则k的取值范围为 　 　．
12．因式分解：8a﹣2ab＝　 　
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＝　 　．

14．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 　 　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．
第16题图 第17题图
17．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 　 　．
18．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，第n个单项式是 　 　．
三．选择题【本大题共10小题，共88分（66分）。答案应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤】
19．【本小题满分6分（4分）】（1）计算：．






20.【本小题满分6分（4分）】（先化简，再求值：，其中x＝﹣3．









21．【本小题满分8分（6分） 】 如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）









22．【本小题满分8分（6分） 】如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD．（结果取整数）
参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tam31°≈0.60．







23．【本小题满分10分（6分） 】为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）随机抽取一张卡片，“A志愿者被选中”的概率是 　 　．
（2）用列表法或画树状图法求抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率．












24．【本小题满分8分（6分） 】随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制如图所示的两幅不完整的统计图．


请结合图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是　 　．
（2）补全条形统计图；
（3）若某商场一天内有3000人次支付记录，估计选择微信支付的人数．










25．【本小题满分10分（8分） 】如图，已知双曲线y＝，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A、B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的表达式．







26．【本小题满分10分（8分） 】如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．





27．【本小题满分10分（8分） 】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，试求△OBE的面积．








28．【本小题满分12分（10分） 】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）试求出点B的坐标．
（2）分别求出直线BC和抛物线的解析式．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年甘肃省中考密卷数学（一）
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A错误；
B、a3÷a＝a2，故B错误；
C、a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，故C正确；
D、（﹣a）3＝﹣a3，故D错误．
故选：C．
2．【解答】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
3．【解答】解：3亿＝300000000＝3×108．
故选：D．
4．【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为25，26，26，26，27，27，28，29，29，
∴这组数据的众数为26，中位数为27，
故选：A．
5．【解答】解：作直线OE平行于直角三角板的斜边．
可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，
故∠1的度数是：60°+45°＝105°．
故选：B．

6．【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，
故选：B．


7．【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）．
故选：B．
8．【解答】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
②y＝，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
③y＝﹣，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
故选：B．
9．【解答】解∵a⨂b＝a﹣2b，
∴x⨂m＝x﹣2m．
∵x⨂m＞3，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
∴m＝﹣2．
故选：B．
10．【解答】解：由题意得：AP＝t，AQ＝2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，
S△APQ＝AP•AQ＝＝t2，故选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，
S△APQ＝AP•AB＝＝4t，故选项B不正确；
故选：A．

二．填空题
11．【解答】解：∵，
∴，∵x＞y，∴2k+3＞﹣k﹣2，解得k＞﹣，故答案为：k＞﹣．
12．【解答】解：8a﹣2ab＝2a（4﹣b），
故答案为：2a（4﹣b）．
13．【解答】解：根据数轴可得：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
则a+b＜0．则原式＝﹣b﹣（a+b）+a＝﹣b﹣a﹣b+a＝﹣2b．
故答案是：﹣2b．
14．【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
15．【解答】解：∵边AO，AB的中点为点C、D，
∴CD是△OAB的中位线，CD∥OB，∵点C，D的横坐标分别是1，4，
∴CD＝3，∴OB＝2CD＝6，∴点B的横坐标为6．故答案为：6．
16．【解答】解：连接CE，



∵∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，
∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π，
∵S△BCE＝BC2＝，∴阴影部分的面积为π﹣．故答案为：π﹣．
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BCE＝×2×2﹣﹣××2＝﹣，
故答案为：﹣．
17．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．
∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．
故答案为：．

18．【解答】解：∵第1个单项式﹣a2＝（﹣1）1•12•a1+1，
第2个单项式4a3＝（﹣1）2•22•a2+1，
第3个单项式﹣9a4＝（﹣1）3•32•a3+1，
第4个单项式16a5＝（﹣1）4•42•a4+1，
……
∴第n（n为正整数）个单项式为（﹣1）n•n2•an+1，
故答案为：（﹣1）n•n2•an+1．
三．解答题
19【解答】解：原式＝2﹣4×﹣1+4＝2﹣2﹣1+4＝3；
20.原式＝•﹣＝﹣＝，
当x＝﹣3时，原式＝＝﹣6．
21．【解答】解：如图：

猜想：DF＝3BF，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．
∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，∴点F是BO的中点，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，
∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．
22．【解答】解：在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD，
设CD＝BD＝xm，
在Rt△ACD中，由tan∠CAD＝＝0.6得，＝0.6，解得x＝45，
∴这座灯塔的高度CD为45m．
23．【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，“A志感者被选中”的概率是，
故答案为：；

（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，其中抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的有2种结果，
所以抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率为＝．
24．【解答】解：（1）50÷25%＝200人，
挂答案为：200，
（2）现金支付的人数：200×30%＝60人，
其它支付的人数：200﹣60﹣50﹣60＝30人，补全的条形统计图如图所示：
（3）3000×＝900人，
答：选择微信支付的人数由900人．

25．【解答】20．解：（1）∵y＝y＝经过点D（6，1），∴＝1，∴k＝6；
（2）∵点D（6，1），
∴BD＝6，设△BCD边BD上的高为h，
∵△BCD的面积为12，∴BD•h＝12，即×6h＝12，解得h＝4，
∴CA＝3，∴＝﹣3，解得x＝﹣2，∴点C（﹣2，﹣3），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，得，所以，直线CD的解析式为y＝x﹣2
26．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，
，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL），∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；

（2）如图，连接OD，OC，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠OCB＝∠CBA＝70°，∠ODA＝∠OAD＝50°，
∴∠BOC＝40°，∠AOD＝80°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC﹣∠AOD＝60°，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．

27．【解答】（1）证明：∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，
∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图，过O作OP⊥AE于P，∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝1，∴∠AOB＝90°，∴，
∴AC＝2OA＝6，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°＝∠AOB，又∵∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，∴，即，解得：，∴，
∵OP⊥AE，则，
∴S△OBE＝．

28．【解答】解：（1）∵点C （0，3），即OC＝3．
∵BC＝5，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得OB＝，即点B坐标为（4，0）．
（2）把B（4，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+n中，
得，解得．∴直线BC解析式为；
把A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）分别代入y＝ax2+bx+c得
，解得．∴抛物线的解析式是．
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是，∴抛物线对称轴为直线x＝．
设点P坐标为（）．
①当∠PCB＝90°时，有BP2＝BC2+PC2．
∵，，BC2＝25．
即＝+25，解得：m＝．故点P1（）；
②当∠PBC＝90°时，有PC2＝PB2+BC2．
∵，，BC2＝25．
即＝+25， 解得：m＝﹣2． 故点P2（）；
③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．
即25＝+．解得：m1＝，m2＝．
∴P3（，），P4（，）．
综上所述，使得△BCP为直角三角形的点P的坐标为 （）或（）或（，）或（，）．