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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课时练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课时练习,共9页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
微阶段刷题过关卷(三)
(时间:120分钟 分值:150分)
试卷考查范围
主要命题点
6.3二项式定理
1.二项式定理及其相关概念的理解
2.二项式定理的通项应用
3.二项式系数的性质及应用
4.利用“赋值法”解决展开式的系数和问题
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )
A.(x-1)3 B.(x-2)3 C.x3 D.(x+1)3
C 解析:S=[(x-1)+1]3=x3.
2.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
C 解析:因为(1+x)6的展开式的第k+1项为Tk+1=Cxk,x(1+x)6的展开式中含x3的项为Cx3=15x3,所以含x3项的系数为15.
3.二项式的展开式中的常数项为( )
A.80 B.-80 C.40 D.-40
B 解析:二项式的展开式的通项为Tk+1=C·(x3)5-k=(-1)k·2kCx15-5k.令15-5k=0,得k=3,所以常数项为T4=(-1)3×23×C=-80.
4.若的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )
A.210 B.180 C.160 D.175
B 解析:∵的展开式中只有第6项的二项式系数最大,∴展开式中共有11项,n=10.
∴展开式的通项公式为Tk+1=C()10-k·=C(-1)k·2k·x5-.令5-=0,得k=2,∴常数项是T2+1=22·C=180.故选B.
5.二项式的展开式中的常数项是( )
A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项
C 解析:二项展开式的通项为Tk+1=C·x12-k·=C·2k·x,令12-k=0,解得k=8.所以常数项为第9项.
6.二项式的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
B 解析:由得:
展开式的通项公式为Tr+1=2n-rCx4n-7r.
令4n-7r=0,
据题意此方程有解,
∴n=.
当r=4时,
n最小为7,
故选B.
7.若(x+2)的展开式的常数项等于-280,则a=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
C 解析:展开式的通项公式为Tk+1=C (-ax)k=C(-a)kx2k-7,
所以当k=3时,项的系数为C(-a)3.
因为的展开式无常数项,
所以(x+2)展开式的常数项为C·(-a)3=-280,解得a=2.
故选C.
8.在的展开式中,x3的系数为-5,则该展开式各项的系数中最大值为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
B 解析:的展开式的通项为Tk+1=Cx5-k=(-a)kCx5-2k,
令5-2k=3,则k=1,所以-a×5=-5,即a=1,
展开式中第2,4,6项的系数为负数,第1,3,5项的系数为正数,故各项的系数中最大值为C=10.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则( )
A.a0=1
B.a3=-280
C.a1+a2+…+a7=-2
D.a1+2a2+…+7a7=-7
ABC 解析:(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=0,得1=a0,故选项A正确;
令x=1,得-1=a0+a1+a2+…+a7,
所以a1+a2+…+a7=-2,故选项C正确;
因为展开式的通项公式为Tr+1=C17-r(-2x)r=(-2)rCxr,所以a3=(-2)3C=-280,
故选项B正确;
对(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7两边同时求导,得-14(1-2x)6=a1+2a2x+…+7a7x6,
令x=1,得a1+2a2+…+7a7=-14,故选项D错误.故选ABC.
10.已知在的展开式中,第6项为常数项,则( )
A.n=10
B.x2的项的系数是
C.有理项是第3项,第6项
D.通项为Tk+1=Cx
ABD 解析:该二项式展开式的通项为Tk+1=Cx·x=Cx.
因为第6项为常数项,所以当k=5时,=0,解得n=10.
所以通项为Tk+1=C·x.
令=2,解得k=2,故含x2的项的系数是C=.
根据通项公式,由题意得令=r(r∈Z),则10-2k=3r,k=5-r.
因为k∈N,所以r应为偶数,所以r可取2,0,-2,即k可取2,5,8,所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为Cx2,C,Cx-2.
11.若(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021(x∈R),则( )
A.a0=1
B.a1+a3+a5+…+a2 021=
C.a0+a2+a4+…+a2 020=
D.+++…+=-1
ACD 解析:由题意知,当x=0时,a0=1,
当x=1时,a0+a1+a2+a3+…+a2 021=(-1)2 021=-1,
当x=-1时,a0-a1+a2-a3+…-a2 021=32 021,
所以a1+a3+a5+…+a2 021=-,
a0+a2+a4+…+a2 020=,
+++…+=a1×+a2×+…+a2 021×,
当x=时,0=a0+a1×+a2×+…+a2 021×,
所以a1×+a2×+…+a2 021×=-a0=-1.故选ACD.
12.已知(1-x+mx2)6展开式中x4的系数小于90,则m的取值可能为( )
A.-5 B.-3 C.-1 D.1
BC 解析:因为(1-x+mx2)6展开式为Tk+1=C·(1-x)6-k(mx2)k.要想得到展开式中的x4项,只能是k=0,k=1和k=2.当k=0时,T1=C(1-x)6(mx2)0=C(1-x)6,二项式(1-x)6的展开通项Tr+1=C16-r(-x)r=C(-1)rxr,要想得到x4项,只能r=4,此时x4的系数为CC(-1)4=15.当k=1时,T2=C(1-x)5(mx2)1=Cmx2·(1-x)5,二项式(1-x)5的展开通项Tr+1=C15-r(-x)r=C(-1)rxr,要想得到x4项,只能r=2,此时x4的系数为CmC(-1)2=60m.当k=2时,T3=C(1-x)4(mx2)2=Cm2x4(1-x)4,二项式(1-x)4的展开通项Tr+1=C14-r(-x)r=C(-1)rxr,要想得到x4项,只能r=0,此时x4的系数为Cm2C(-1)0=15m2.所以(1-x+mx2)6展开式中x4的系数为15+60m+15m2,所以15+60m+15m2
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