第六章 6.3.2 第1课时 二项式系数的性质 试卷

这是一份第六章 6.3.2 第1课时 二项式系数的性质，共10页。
6.3.2　二项式系数的性质
第1课时　二项式系数的性质
学习目标　1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用．
导语
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．

一、杨辉三角
问题1　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？

提示　1,7,21,35,35,21,7,1
知识梳理
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即C＝C＋C.
例1　(1)在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　)
A．第n－k项 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项
答案　D
解析　第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．
(2)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　)

A．8 B．6 C．4 D．2
答案　B
解析　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.
反思感悟　解决与杨辉三角有关问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
跟踪训练1　(1)在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
答案　D
解析　由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.
(2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　)

A．20 B．21 C．22 D．23
答案　C
解析　由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.
二、二项式系数的增减性与最大值
问题2　怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？
提示　＝.
当k1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．

知识梳理
增减性与最大值：C＝＝C，即＝，所以当>1，即k时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
注意点：
(1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项；
(2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项．
例2　已知f(x)＝(＋3x2)5，求展开式中二项式系数最大的项．
解　∵5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，T4＝C()2·(3x2)3＝270.
反思感悟　求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
跟踪训练2　(1)(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是(　　)
A．第n－1项 B．第n项
C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项
答案　D
解析　由二项式系数的性质得，二项式系数最大为 ＝C，＝C，分别为第n，n＋1项．
(2)2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为(　　)
A．120 B．252 C．210 D．45
答案　C
解析　由题意，得2n＝10，易知n＝5，
由Tk＋1＝C()10－kk＝C ，
令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为C＝210.
三、二项展开式的系数和问题
问题3　在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？
提示　C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
例3　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解　(1)令x＝0，则a0＝－1.
令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)∵Tk＋1＝C(3x)7－k(－1)k，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384.
反思感悟　求展开式的各项系数之和常用赋值法
“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．
跟踪训练3　设(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022(x∈R)．
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 022的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值．
解　(1)在等式(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022中，令x＝0，得1＝a0.∴a0＝1.
(2)在等式中，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 022，
∴a1＋a2＋…＋a2 022＝0.
(3)分别令x＝－1，x＝1，
得
②－①，得1－32 022＝2(a1＋a3＋…＋a2 021)．
∴a1＋a3＋…＋a2 021＝(1－32 022)．

1．知识清单：
(1)杨辉三角．
(2)二项式系数的增减性与最值．
(3)二项展开式的系数和问题．
2．方法归纳：赋值法．
3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数．

1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　)
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
答案　B
解析　第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．
2.11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．第3项 B．第6项
C．第6,7项 D．第5,7项
答案　C
解析　11的展开式中第项和＋1项，即第6,7项的二项式系数相等，且最大．
3．(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是(　　)
A．2 048 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024
答案　D
解析　(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，
令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②
由①②，得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024，
即为所求系数之和．
4．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________，各项的二项式系数的和为________．
答案　1　64
解析　令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
课时对点练

1．在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案　C
解析　由题意，得展开式共有11项，所以n＝10.
2．若(x＋3y)n展开式的各项系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)
A．5 B．8 C．10 D．15
答案　A
解析　(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和为210，
令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.
3．(2x－3)10的展开式中，奇数项的二项式系数和为(　　)
A．210 B．29 C. D.
答案　B
4．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)
A．1 B．±1 C．2 D．±2
答案　C
解析　由条件知2n＝32，即n＝5，在通项公式Tk＋1＝C()5－kk＝Cak 中，令15－5k＝0，得k＝3.
所以Ca3＝80，解得a＝2.
5．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为(　　)
A．530 B．502 C．503 D．505
答案　B
解析　由题意，得“上升”的正整数包含两位数有C个，三位数有C个，…，九位数有C个，则所有“上升”的正整数的个数为C＋C＋C＋…＋C＝29－C－C＝502.
6．(多选)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是(　　)
A．a2＋a5＝588
B．a1＋a2＋…＋a7＝1
C．a1＋a3＋a5＋a7＝
D．|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1
答案　ACD
解析　因为(2x－1)7展开式的通项为
Tk＋1＝C·(2x)7－k(－1)k＝C(－1)k27－kx7－k，
又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，
所以a2＝C·(－1)5·27－5＝－84，a5＝C·(－1)2·27－2＝672，则a2＋a5＝588，故A正确；
令x＝1，则(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1，
令x＝0，则(0－1)7＝a0＝－1；
令x＝－1，则(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37，
故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，即B错误；
a1＋a3＋a5＋a7＝－＝，即C正确；
|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，即D正确．
7．若n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
答案　10
解析　令x＝1，则2n＝32，故n＝5.
Tk＋1＝C(x2)5－kk＝Cx10－2k－3k＝Cx10－5k，
令10－5k＝0，得k＝2.
故展开式中的常数项为T3＝C＝10.
8．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________.
答案　－
解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－.
9．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解　(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得(0－3)4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝(2－3)4－81＝－80.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，
由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4
＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0
＝313＋312－81＝544.
10．在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
解　(1)二项式系数最大的项是第11项．
T11＝C·310·(－2)10x10y10＝C·610x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第k＋1项，于是

化简得
解得≤k≤.
因为k∈N，所以k＝8，
即T9＝C·312·28x12y8是系数绝对值最大的项．
(3)由于系数为正的项为奇数项，于是结合(2)可知系数最大的项为第9项．
T9＝C·312·28x12y8.

11．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　)
A．10 B．45 C．－9 D．－45
答案　B
解析　x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，
∴a8＝C＝C＝45.
12．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(　　)
A．330 B．462 C．682 D．792
答案　B
解析　∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，
∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462.
13．若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－1
答案　D
解析　(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022，
令x＝0，得a0＝1，令x＝，
得2 022＝a0＋＋＋…＋＝0，
所以＋＋…＋＝－1.
14．已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C＝________.
答案　255
解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)
＝(－3)n，
即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数的性质，可得
C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255.

15．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：＝＋，＝＋，＝＋，…，则第n(n≥3)行第3个数字是________．

答案　(n∈N*，n≥3)
解析　杨辉三角形中的每一个数C都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，
∵杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数字是C，则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是＝.
16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：

(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．
解　(1)C＝1 140.
(2)C＋C＋…＋C＝C.
证明如下：
左边＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…＝C＋C＝C＝右边．