江苏省泰州市姜堰区四校联考2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份江苏省泰州市姜堰区四校联考2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区四校联考八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．为了调查泰州市某校学生的视力情况，在全校的2700名学生中随机抽取了150名学生，下列说法正确的是（　　）
A．此次调查属于普查
B．样本数量是150
C．2700名学生是总体
D．被抽取的每一名学生称为个体
3．体现小颖同学从小学到初中身高变化情况，则最适合的统计图是（　　）
A．条形统计图 B．折线统计图
C．扇形统计图 D．频数分布直方图
4．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
5．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
6．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
7．如图，为某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出奶油口味雪糕的数量是　 　支．

8．某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是 　 　．
9．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为 　 　．
10．如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影
部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 　 　．（请写出所有符合条件的序号）

11．如图在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接BB'．则线段BB'的长为 　 　．

12．平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OAB的周长比△BOC的周长小3cm，若AB＝5cm，则平行四边形ABCD的周长是　 　cm．
13．如图，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转角为　 　°．

14．如图，平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AD长的取值范围是 　 　．

15．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　 　．

16．如图，在△OAB中，OA＝OB，顶点A的坐标为（5，0），P是OA上一动点，将点P绕点C（0，1）逆时针旋转90°，若点P的对应点P'恰好落在AB边上，则点P'的坐标为 　 　．

三、解答题（本题共10小题，共102分。）
17．我校为了加强学生对甲流病毒的防范意识，组织学生进行甲流病毒预防知识测试，从中抽取一部分学生的成绩按“优秀、良好、合格、不合格”四个等级分别进行统计，并绘制出如图两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）此次知识测试抽取了 　 　名学生的成绩进行统计；
（2）将条形统计图补画完整；
（3）扇形统计图中，m+n＝　 　；等级不合格所在的扇形的圆心角度数是 　 　．


18．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表．
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到红球的频数n
123
243
487
725
964
1203
摸到红球的频率
0.820
0.810
0.812
0.806
0.803
a
（1）a＝　 　．
（2）请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近 　 　（精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是 　 　（精确到0.1）．
（3）求口袋中红球的数量．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．
（1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称；
（2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2；
（3）直接写出点B关于点C对称点的坐标．

20．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，作边AD上的中点F；
（2）在图2中，作边AB上的中点G．

21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°．
（1）求∠C、∠B的度数；
（2）若BC＝5，AB＝8，求CE的长．

22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H．
（1）求证：CH＝EH；
（2）若AD＝5，CD＝3，求AE的长．

23．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°．
（1）求线段OC的长．
（2）求证：四边形ABCD为平行四边形．

24．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．

25．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝．CE＝2时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．

26．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　；
（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．


参考答案
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的定义即可得出答案．
解：观察四个选项可知，只有C选项中的图形绕某一点旋转180°后不能与自身重合，
因此C选项中的图形不是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形的识别，掌握定义是解题的关键．平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2．为了调查泰州市某校学生的视力情况，在全校的2700名学生中随机抽取了150名学生，下列说法正确的是（　　）
A．此次调查属于普查
B．样本数量是150
C．2700名学生是总体
D．被抽取的每一名学生称为个体
【分析】根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
解：A、此次调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B、样本数量是150，故B符合题意；
C、2700名学生的视力情况是总体，故C不符合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．体现小颖同学从小学到初中身高变化情况，则最适合的统计图是（　　）
A．条形统计图 B．折线统计图
C．扇形统计图 D．频数分布直方图
【分析】根据折线统计图的特点，即可解答．
解：体现小颖同学从小学到初中身高变化情况，则最适合的统计图是折线统计图，
故选：B．
【点评】本题考查了统计图的选择，频数（率）分布直方图，频数（率）分布折线图，熟练掌握折线统计图的特点是解题的关键．
4．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
解：A、床前明月光，是随机事件，不符合题意；
B、大漠孤烟直，是随机事件，不符合题意；
C、手可摘星辰，是不可能事件，不符合题意；
D、黄河入海流，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．

【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
7．如图，为某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出奶油口味雪糕的数量是　150　支．

【分析】根据扇形统计图得到售出红豆口味的雪糕的数量和所占的百分比，求出冷饮店一天售出各种口味雪糕数量，计算即可．
解：由扇形统计图可知，售出红豆口味的雪糕200支，占40%，
则冷饮店一天售出各种口味雪糕数量为200÷40%＝500支，
则售出奶油口味雪糕的数量是500×30%＝150支，
故答案为：150．
【点评】本题考查的是扇形统计图的知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
8．某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是 　0.1　．
【分析】先求出第五组的频数是8，从而求出第六组的频数，最后求出第六组的频率即可解答．
解：由题意得：
40×0.2＝8，
∴第五组的频数是8，
∴40﹣10﹣5﹣7﹣6﹣8＝4，
∴4÷40＝0.1，
∴第六组的频率是：0.1，
故答案为：0.1．
【点评】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率等于频数÷总次数是解题的关键．
9．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为 　20　．
【分析】先用白球的个数除以白球的频率求出球的总个数，再用总个数乘以红球的频率即可．
解：根据题意知，袋中球的总个数为60÷（1﹣0.25）＝80（个），
∴袋中红球个数可能为80×0.25＝20（个），
故答案为：20个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影
部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 　①或⑥　．（请写出所有符合条件的序号）

【分析】根据中心对称定义以及轴对称图形的定义可得答案．
解：把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形．
故答案为：①或⑥．
【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
11．如图在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接BB'．则线段BB'的长为 　　．

【分析】由旋转性质可判定△BOB'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得BB'的长．
解：由旋转性质可知，OB＝OB'＝，∠BOB'＝90°，
则△BOB'为等腰直角三角形，
∴BB'＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
12．平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OAB的周长比△BOC的周长小3cm，若AB＝5cm，则平行四边形ABCD的周长是　26　cm．
【分析】根据平行四边形性质得出OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，求出BC＝8cm，即可得出平行四边形的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵△OAB的周长比△OBC的周长小3cm，
∴（BC+OC+OB）﹣（AB+OA+OB）＝3cm，
∴BC﹣AB＝3cm，
∴BC＝AB+3cm＝8cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝26cm；
故答案为：26．

【点评】本题考查了平行四边形性质的应用、三角形周长的计算，关键是能根据题意求出BC＝8cm．
13．如图，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转角为　82　°．

【分析】设∠B＝x，根据旋转的旋转得CB＝CD，∠CDE＝∠B＝x，∠A＝∠E＝33°，∠BCD的度数等于旋转角的度数，再利用三角形外角性质得∠BCD＝x+33°，接着证明∠CDB＝∠B＝x，
则利用三角形内角和得到x+x+33°+x＝180°，然后求出x后计算x+33°即可得到旋转角的度数．
解：设∠B＝x，
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合，
∴CB＝CD，∠CDE＝∠B＝x，∠A＝∠E＝33°，∠BCD的度数等于旋转角的度数，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝x+33°，
在△BCD中，∵CB＝CD，
∴∠CDB＝x，
∴x+x+33°+x＝180°，解得x＝49°，
∴旋转角的度数为49°+33°＝82°．
故答案为82°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14．如图，平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AD长的取值范围是 　1＜AD＜7　．

【分析】由平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的值，又由三角形的三边关系，即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝×8＝4，OD＝BD＝×6＝3，
∴4﹣3＜AD＜4+3，
∴1＜AD＜7．
故答案为：1＜AD＜7．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分是解此题的关键．
15．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　4　．

【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．
解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
16．如图，在△OAB中，OA＝OB，顶点A的坐标为（5，0），P是OA上一动点，将点P绕点C（0，1）逆时针旋转90°，若点P的对应点P'恰好落在AB边上，则点P'的坐标为 　（1，4）　．

【分析】作P'H⊥BC于H，利用AAS证明△OPC≌△HCP'，得P'H＝OC＝1，再证明BH＝HP'即可．
解：如图，作P'H⊥BC于H，

∵将点P绕点C（0，1）逆时针旋转90°得P'，
∴PC＝P'C，∠PCP'＝90°，
∴∠PCO+∠P'CH＝90°，
∵∠PCO+∠OPC＝90°，
∴∠OPC＝∠HCP'，
在△OPC和△HCP′中，
，
∴△OPC≌△HCP'（AAS），
∴P'H＝OC＝1，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝45°，
∴BH＝HP'＝1，
∴OH＝OB﹣BH＝4，
∴P'（1，4），
故答案为：（1，4）．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，构造K型全等是解题的关键．
三、解答题（本题共10小题，共102分。）
17．我校为了加强学生对甲流病毒的防范意识，组织学生进行甲流病毒预防知识测试，从中抽取一部分学生的成绩按“优秀、良好、合格、不合格”四个等级分别进行统计，并绘制出如图两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）此次知识测试抽取了 　400　名学生的成绩进行统计；
（2）将条形统计图补画完整；
（3）扇形统计图中，m+n＝　60　；等级不合格所在的扇形的圆心角度数是 　36°　．


【分析】（1）根据合格的人数和所对应的圆心角的度数，可以计算出本次抽取的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出良好的学生人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以计算出m、n的值，从而可以得到m+n的值，然后再计算出等级不合格所在的扇形的圆心角度数即可．
解：（1）此次知识测试抽取的学生有：120÷＝400（名），
故答案为：400；
（2）成绩良好的学生有：400﹣100﹣120﹣40＝140（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）m%＝×100%＝35%，
n%＝×100%＝25%，
∴m＝35，n＝25，
∴m+n＝35+25＝60；
等级不合格所在的扇形的圆心角度数是：360°×＝36°，
故答案为：60，36°．

【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表．
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到红球的频数n
123
243
487
725
964
1203
摸到红球的频率
0.820
0.810
0.812
0.806
0.803
a
（1）a＝　0.802　．
（2）请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近 　0.80　（精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是 　0.8　（精确到0.1）．
（3）求口袋中红球的数量．
【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到红球的频率稳定在0.8左右；
（3）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．
解：（1）a＝1203÷1500＝0.802；
故答案为：0.802；
（2）当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.80，0.8；
故答案为：0.80，0.8；
（3）设口袋中红球的数量为x个，
0.8 （x+15）＝x，
解得：x＝60．
答：口袋中红球的数量为60个．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．正确记忆概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1是解题关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．
（1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称；
（2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2；
（3）直接写出点B关于点C对称点的坐标．

【分析】（1）根据轴对称性质即可在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称；
（2）根据旋转的性质即可画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2；
（3）根据B（﹣2，4），C（﹣1，1）．即可写出点B关于点C对称点的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点B关于点C对称点的坐标为（0，﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
20．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，作边AD上的中点F；
（2）在图2中，作边AB上的中点G．

【分析】（1）根据平行四边形的性质即可在图1中，作边AD上的中点F；
（2）根据平行四边形的性质在图2中，作两次平行四边形即可作边AB上的中点G．
解：如图，

（1）在图1中，点F即为边AD上的中点；
（2）在图2中，点G即为边AB上的中点．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是准确画图．
21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°．
（1）求∠C、∠B的度数；
（2）若BC＝5，AB＝8，求CE的长．

【分析】（1）利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠DAE＝∠EAB＝∠DEA＝25°，进而利用平行四边形的性质得出：∠C、∠B的度数；
（2）根据等角对等边可得DE＝AD，即可得EC的长．
解：（1）在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠DEA＝25°，
∴∠DAB＝∠C＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
（2）∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD，
∵在▱ABCD中，BC＝5，AB＝8，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝8，
∴EC＝CD﹣DE＝8﹣5＝3，
∴CE的长是3．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H．
（1）求证：CH＝EH；
（2）若AD＝5，CD＝3，求AE的长．

【分析】（1）利用角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠E＝∠BCE，进而得出BC＝BE，再根据等腰三角形的性质，即可得到结论；
（2）利用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到AE的长．
解：（1）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠E＝∠DCE，
∴∠E＝∠BCE，
∴BC＝BE，
又∵BH⊥CE，
∴CH＝EH；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
又∵BE＝BC，
∴BE＝5，
∴AE＝BE﹣AB＝5﹣3＝2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质的运用，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等．
23．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°．
（1）求线段OC的长．
（2）求证：四边形ABCD为平行四边形．

【分析】（1）由∠ADB＝90°，AD＝12，OD5，根据勾股定理求得OA＝＝13，而AC＝26，即可求得OC的长是13；
（2）由OA＝OC，OD＝OB，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形即可．
【解答】（1）解：∵∠ADB＝90°，AD＝12，OD5，
∴OA＝＝＝13，
∵AC＝26，
∴OC＝AC﹣OA＝26﹣13＝13，
∴OC的长是13．
（2）证明：由（1）得OA＝13，OC＝13，
∴OA＝OC，
∵OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】此题重点考查勾股定理、平行四边形的判定等知识，根据勾股定理求出OA的长，从而证明OA＝OC是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．

【分析】（1）由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；
（2）由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到BD＝AB＝5，根据勾股定理列方程求解．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，
∴AB∥DE，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠AED＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB＝5，
设BF＝x，则DF＝5﹣x，
∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝＝，
∴AC＝2AF＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程．
25．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝．CE＝2时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．

【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，

∵DE＝DC＝，DN⊥EC，CE＝2，
∴EN＝CN＝1，
∴DN＝＝3，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝3，
∴BE＝BN﹣EN＝3﹣1＝2，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
26．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　；
（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，

∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．