江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年七年级下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年七年级下学期第一次月考数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟七年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）
1．如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（　　）

A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
2．如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．105°
3．下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．（a2）4＝a8 C．3a3﹣a3＝3 D．a2+4a2＝5a4
4．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为（　　）
A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣7
5．已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
6．如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角．判断下列大小关系何者正确？（　　）

A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＜∠ABC+∠D
C．∠1+∠2+∠3＝360° D．∠1+∠2+∠3＞360°
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．计算m•m7的结果等于 　 　．
8．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 　 　°．

9．如图，直线l∥m，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度数为 　 　．

10．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为 　 　．

11．如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝　 　．
12．比较大小：2﹣2　 　30．（选填＞，＝，＜）
13．若3m＝9n＝2．则3m+2n＝　 　．
14．如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是 　 　．

15．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　 　S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

16．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，点E，D分别是OB，OC延长线上的点，∠CBE和∠BCD的平分线交于点P，∠A＝α，则∠P的度数为 　 　．（用含α的代数式表示）

三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3；
（2）x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．
18．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点E．∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠BED的度数．

19．在△ABC中，AB＝8，AC＝1．
（1）若BC是整数，求BC的长；
（2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长．
20．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向右平移4格，再向上平移2格，其中每个格子的边长为1个单位长度．
（1）在图中画出平移后的△A'B'C'；
（2）若连接AA'，CC'，则这两条线段的关系是 　 　；
（3）作△ABC的高AD，并求△ABC的面积．

21．（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值；
（2）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
22．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
（1）求证：AC∥DF；
（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．

23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数
（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝　 　．
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．

24．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．
例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．
（1）若f（2）＝5，
①填空：f（6）＝　 　；
②当f（2n）＝25，求n的值；
（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．
25．我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．

【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 　 　，△AOB　 　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．

26．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．

（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝　 　°；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．



参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）
1．如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（　　）

A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；
B、∠1和∠3是同位角，故B正确；
C、∠2和∠3是内错角，故C错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．
故选：B．
【点评】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．105°
【分析】根据平行线性质，可得∠DGE＝∠BAE＝∠DCF＝75°．
解：如图：

∵AB∥CD，
∴∠DGE＝∠BAE＝75°，
∵AE∥CF，
∴∠DCF＝∠DGE＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．（a2）4＝a8 C．3a3﹣a3＝3 D．a2+4a2＝5a4
【分析】选项A根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C、D根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
解：A．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
B．（a2）4＝a8，故本选项符合题意；
C．3a3﹣a3＝2a3，故本选项不合题意；
D．a2+4a2＝5a2，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为（　　）
A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000001＝1×10﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．
解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，
∴第三边的长度可能是：6cm．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
6．如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角．判断下列大小关系何者正确？（　　）

A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＜∠ABC+∠D
C．∠1+∠2+∠3＝360° D．∠1+∠2+∠3＞360°
【分析】根据多边形的外角和是360°及三角形的外角定理求解判断即可．
解：如图，连结BD，

∵∠1＝∠ABD+∠ADB，∠3＝∠DBC+∠BDC，
∴∠1+∠3＝∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC＝∠ABC+∠ADC，
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠2+∠3＜360°．
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是360°是解题的基础．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．计算m•m7的结果等于 　m8　．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
解：m•m7＝m8．
故答案为：m8．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 　20　°．

【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
9．如图，直线l∥m，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度数为 　80°　．

【分析】反向延长∠3的一边与直线m相交，根据平行线的性质可得∠2＝∠4，根据三角形的外角性质可得∠3＝∠1+∠4，以此即可求解．
解：如图，反向延长∠3的一边与直线m相交，

∵直线l∥m，∠1＝45°，∠2＝35°，
∴∠2＝∠4＝35°，
根据三角形外角性质得，
∠3＝∠1+∠4＝45°+35°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角性质，正确作出辅助线是解题关键．
10．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为 　30°　．

【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷5＝12，
根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点P时，所经过的路线正好构成一个正多边形．
11．如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝　5　．
【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．
解：设外角为2x，则其内角为3x，
则2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴外角为2x＝72°，
∵正n边形外角和为360°，
∴n＝360°÷72°＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
12．比较大小：2﹣2　＜　30．（选填＞，＝，＜）
【分析】先分别计算2﹣2和30的值，再进行比较大小，即可得出答案．
解：∵2﹣2＝，30＝1，
∴2﹣2＜30，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂的意义，零指数幂的意义是解决问题的关键．
13．若3m＝9n＝2．则3m+2n＝　4　．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行解答即可．
解：∵3m＝32n＝2，
∴3m+2n＝3m•32n＝2×2＝4，
故答案为：4
【点评】此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答．
14．如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是 　4　．

【分析】根据三角形中线将三角形分成面积相等的两部分可知：△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，由此可解．
解：∵点D、E分别是BC，AD的中点，
∴，，
∴，
故答案为：4．
【点评】本题考查根据三角形中线求面积，掌握“三角形中线将三角形分成面积相等的两部分”是解题的关键．
15．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　＝　S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
解：∵S△ABC＝×2×4＝4，S△ABD＝2×5﹣×5×1﹣×1×3﹣×2×2＝4，
∴S△ABC＝S△ABD，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
16．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，点E，D分别是OB，OC延长线上的点，∠CBE和∠BCD的平分线交于点P，∠A＝α，则∠P的度数为 　45°﹣α　．（用含α的代数式表示）

【分析】根据角平分线的定义得出∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，求得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，进而根据角平分的定义得出∠CBP+∠BCP＝135°+α，根据三角形内角和定理即可求解．
解：∵O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×（180°﹣α）＝90°+α，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝90°﹣α，
∵∠CBE和∠BCD的平分线交于点P，
∴∠EBP＝∠CBP，∠BCP＝∠DCP，
∴∠CBP+∠BCP＝（180°﹣∠OBC）+（180°﹣∠OCB）＝[360°﹣（90°﹣α）]＝135°，
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α．
故答案为：45°﹣α．
【点评】本题考查了三角形角平分线性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3；
（2）x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．
【分析】（1）由积的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案；
（2）由同底数幂乘法，幂的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案．
解：（1）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3
＝64x6y12﹣27x6y12
＝37x6y12；
（2）x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2
＝﹣x16+5x16﹣x16
＝3x16．
【点评】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．
18．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点E．∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠BED的度数．

【分析】求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形内角和定理即可解决问题．
解：∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠A＝60°，∠BDC＝80°，
∴∠ABD＝20°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝20°，
又∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD＝20°
∴∠BED＝180°﹣∠ABD﹣∠BDE＝140°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．在△ABC中，AB＝8，AC＝1．
（1）若BC是整数，求BC的长；
（2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：（1）由题意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，
∴7＜BC＜9，
∵BC是整数，
∴BC＝8；
（2）∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD
∵△ACD的周长为10，
∴AC+AD+CD＝10，
∵AC＝1，
∴AD+CD＝9，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
20．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向右平移4格，再向上平移2格，其中每个格子的边长为1个单位长度．
（1）在图中画出平移后的△A'B'C'；
（2）若连接AA'，CC'，则这两条线段的关系是 　AA′＝CC′，AA′∥CC′　；
（3）作△ABC的高AD，并求△ABC的面积．

【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再顺次连接即可；
（2）根据平移的性质：对应点连线平行且相等可得AA′＝CC′，AA′∥CC；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）如右图，△A′B′C′即为所求；

（2）根据平移的性质可得：AA′＝CC′，AA′∥CC′，
故答案为：AA′＝CC′，AA′∥CC′；
（3）如图3所示，AD即为所求；

△ABC的面积＝×3×2＝3．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值；
（2）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可；
（2）利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可．
解：（1）a2m+3n
＝a2m•a3n
＝（am）2•（an）3
＝32×43
＝576；
（2）∵9n+1﹣32n＝72，
∴9n×9﹣9n＝72，
8×9n＝72，
∴n＝1．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，做题关键是掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则．
22．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
（1）求证：AC∥DF；
（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．

【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等即可求出∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
又∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴DB∥CE．
∴∠D＝∠FEC．
又∵∠C＝∠D，
∴∠C＝∠FEC．
∴AC∥DF．
（2）解：∵AC∥DF，
∴∠DEC+∠C＝180°，
又∵∠DEC＝105°，
∴∠C＝75°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数
（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝　15°　．
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．

【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；
（3）根据（2）中所得解答即可．
解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠CAD＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°﹣（∠B+∠C）]＝（∠C﹣∠B），
∵∠C﹣∠B＝30°，
∴∠DAE＝×30°＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵∠C﹣∠B＝α，
∴∠DAE＝×α＝．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．
24．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．
例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．
（1）若f（2）＝5，
①填空：f（6）＝　125　；
②当f（2n）＝25，求n的值；
（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．
【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
（2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：（1）①∵f（2）＝5，
∴f（6）＝f（2+2+2）
＝f（2）•f（2）•f（2）
＝5×5×5
＝125；
故答案为：125；
②∵25＝5×5
＝f（2）•f（2）
＝f（2+2），
f（2n）＝25，
∴f（2n）＝f（2+2），
∴2n＝4，
∴n＝2；
（2）∵f（2a）
＝f（a+a）
＝f（a）•f（a）
＝3×3
＝31+1
＝32，
f（3a）
＝f（a+a+a）
＝f（a）•f（a）•f（a）
＝3×3×3
＝31+1+1
＝33，
…，
f（10a）＝310，
∴f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）
＝3×32×33×…×310
＝31+2+3+…+10
＝355．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算．
25．我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．

【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 　30°　，△AOB　不是　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．

【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB＝90°，求得∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，得到∠OAB＝3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；
（2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB＝∠O+∠OAC，求出∠OAC＝24°，∠ACO＝96°，所以∠ACO＝4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；
（3）由∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，得到∠EFC＝∠ADC，可以证明AD//EF，得到∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B，得到∠B＝∠ADE，由DE//BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解．
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB不是“和谐三角形”；
故答案为：30°，不是；
（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB＝∠O+∠OAC，
又∠O＝60°，∠ACB＝84°
∴∠OAC＝24°，
∠ACO＝180°﹣84°＝96°，
∴∠ACO＝4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
（3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD//EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
而∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∵DE//BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°
∴∠B＝30°或者∠B＝80°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，以及平行线的性质，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
26．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．

（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝　45　°；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ＝90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，再由角平分线的定义分别求出∠EQP＝60°，∠HPQ＝15°，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可；
（2）如图所示，连接EE'，先求出∠CPQ+∠PQA＝270°，再由角平分线的定义求出∠EPQ+∠EQP＝135°，则∠PEQ＝45°，由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，进而推出∠EFE'+∠EFE'＝270°即可得到答案．
解：（1）①∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠PQB＝60°，
∴∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE＝45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∴∠QPO＝90°﹣∠PQO，∠AQP＝180°﹣∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°；
（2）∠PFE'+∠QGE'＝90°，理由如下：
如图2所示，连接EE'，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠CPQ+∠QPO＝180°，∠PQA+∠PQO＝180°，
∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA＝90°，
∴∠CPQ+∠PQA＝270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP＝45°，
由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，
∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F＝180°＝∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G，
∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'＝360°，
∴∠EFE'+∠EFE'＝270°，
∵∠EFE'+∠PFE'＝180°＝∠EGE'+∠QGE'，
∴∠PFE'+∠QGE'＝360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'＝90°．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．