2023届辽宁省葫芦岛市高考一模数学试题及答案

2023年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试

数学

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．是虚数单位，则的值为（    ）

A．13 B． C．5 D．

3．若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

4．已知，为平面向量，，，则，夹角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

5．芙萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自燃哲学的数学原理》、《光学》为太昍中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（単位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

6．的展开式中的系数为（    ）

A．－80 B．－100 C．100 D．80

7．定义在区间上的函数的图象与的图各的交点为，过点作P1P⊥x轴于点P1，直线P1P与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，在，且上有个交点，，…，则（    ）

A．0 B． C．2m D．2017

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）

9．已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

10．一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．

结合图1图2，以下四个说法正确的是（    ）

A．在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加：

B．在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km；

C．大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；

D．在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹

11．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（    ）

A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015

B．任取一个零件是次品的概率为0.0525

C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为

D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为

12．设定义在R上的函数f（x），g（x）满足：①g（0）=1：②对任意实数x1，x2满足；③存在大于零的常数m，使得f（m）=1，且当x∈（0，m）时，f（x）>0，g（x）>0．则（    ）

A．g（m）=f（0）=0  B．当x∈（0，m）时，f（x）+g（x）>1

C．函数f（x）g（x）在R上没有最值 D．任取x∈R，f（m－x）=g（x）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．两空题，第一空2分，第二空3分）

13．请估计函数零点所在的一个区间______．

14．某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a的值为______；考试成绩的中位数为______．

15．设为直线上的动点，过点作图的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为______．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

设等差数列的前项和为，已知，，等比数列满足，．

（1）求：

（2）设，求证：．

18．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．sin（A－B）=sin（A+B）－sin（A+C），

角A的角平分线交BC于点D，且b=3，c=6．

（1）求角A的大小；

（2）求线段AD的长．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，，AB⊥AD，PA=PD，AB⊥PA，AD=4，AB=BC=2．E为PD的中点．

（1）求证：平面PAB；

（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：点D到平面PAB的距离．

条件①：四棱锥VP－ABCD=4；

条件②：直线PB与平面ABCD所成的角正弦值为．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知点，，直线PA与直线PB的斜吏乘积为，点的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜轪与直线EF的斜率之积．

21．（本小题满分12分）

新冠疫情过后，国内相继爆发了甲型H1N1流感病毒（甲流）和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．

据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．

（1）若根据卡方检验，有超过99．5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？

（2）研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均互相独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？

附：（其中n=a+b+c+d）

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1），，求的最小值；

（2）设

①证明：；

②若方程有两个不同的实数解，，证明：．

2023年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试

数学

参考答案及评分标准

一、单项选择题

1－4：CBAC    5－8：ABCC

二、多项选择题

9．ABD   10．AD   11．ABC   12．ABD

三、填空题

13．答案示例：（3，4），说明：零点约为3.40，只要是含有零点的区间均可．

14．0.035     15．   16．4

四、解答题

17．（本小题满分10分）

（1）由题意得，解得，，

从而，

（2）由题意得，，，，，所以

又，令，

有

两式相减得，

整理得．

18．（本小题满分12分）

（1）在中，由已知，可得：

则有：，

即

又，即有，

而，所以．

（2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线，

则有，

由得：

解得，

所以线段的长为．

19．（本小题满分12分）

（1）设为中点，连接、，因为为的中点，

所以是三角形的中位线，

所以且

又因为，，．所以

所以，．所以四边形是平行四边形

所以，又平面，平面

所以平面；

（2）过作于，连接．

因为，又因为，

且，所以平面．

又平面，所以平面平面．

因为，所以为中点，

又因为平面平面，所以平面．

又平面，所以

如图建立空间直角坐标系．

设．由题意得，A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，a）．

所以，，．

设平面的法向量为，则

，

令z=2，则y=a．所以．

选择条件①

，解得，

设到平面的距离为，

所以

选择条件②

连接，则是在平面内的射影，则直线与平面所成的角为，

在Rt中，，

在中，，

，所以，所以，

设到平面的距离为，

所以，

20．（本小题满分12分）

（1）设，依题意则有

整理得点的轨迹为为，

（2）设直线为：①

设直线为：②

将①与曲线联立得：，，

设，，，

将②与曲线联立得：，，

设，，，

，所以

21．（本小题满分12分）

（1）设感染诺如病毒的患者为人，则感染甲流的患者为人，

感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为，由题意必有，

而，所以，

又因为为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人．

（2）设抗病毒口服液治疗有效的概率为，每次试验花费为，

则奥司他韦治疗有效的概率为，故，

设抗病毒口服液试验总花费为X，X的可能取值为4m，5m，6m，

，

，

故

设奥司他韦试验总花费为Y，Y的可能取值为3m，6m，

，

，

所以，

由所以，

所以，所以奥司他韦试试验平均花费较低．

22．（本小题满分12分）

（1）

令，

在单调递增，则，即

所以，在单调递增，

所以h（x）的最小值为0

（2）①要证明，可令，即证：

于是

易知，当时，当时，

当时，，当时

所以在单调递减，在单调递增

所以，则

②函数，，

所以在上单调递减，在上单调递增

不妨设，，，

由（1）知，，当且仅当时取等号，

又求导易证，当且仅当时取等号，

设直线与直线，交点的横坐标分别为，．

则

①

由对数平均不等式得，

②

综合①②可知：．