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新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
§2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性
1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
f(－x)＝－f(x)
2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
3.函数对称性常用结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( )(2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)g(x)为奇函数.( )(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期.( )(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.( )
1.下列函数中为偶函数的是A.y＝x2sin x B.y＝x2cs xC.y＝|ln x| D.y＝2－x
根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
2.若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2 023)＝___.
∵f(x)的周期为2，
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________.
(－2,0)∪(2,5]
由图象可知，当00；当20.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5].
TANJIUHEXINTIXING
例1 判断下列函数的奇偶性：
命题点1 判断函数的奇偶性
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
显然函数f(x)的定义域为R，
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为A.－2 B.0 C.2 D.4
命题点2 函数奇偶性的应用
依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝____.
方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数.设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
1.已知函数f(x)＝ ，则函数f(x)A.既是奇函数也是偶函数B.既不是奇函数也不是偶函数C.是奇函数，但不是偶函数D.是偶函数，但不是奇函数
由9－x2≥0且|6－x|－6≠0，解得－3≤x≤3且x≠0，可得函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤3且x≠0}，关于原点对称，
所以f(x)是奇函数，但不是偶函数.
∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ ，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝____；当x<0时，f(x)＝_____________.
∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.
例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于
由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定义在R上的奇函数，
(2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝____.
∵f(x)f(x＋2)＝13，
∴f(x)的周期为4，
当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
跟踪训练2 (1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于A.336 D.339
因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×1＋1＝338.
(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝_____.
∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.
例4 (1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是A.f(x)的图象关于直线x＝2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称C.f(x)的周期为4D.y＝f(x＋4)为偶函数
∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
∵函数y＝f(x)－2为奇函数，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
延伸探究 在本例(2)中，把函数“y＝f(x)－2”改为“y＝f(x＋1)－2”，把“g(x)＝ ”改为“g(x)＝ ”，其他不变，求x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6的值.
∵y＝f(x＋1)－2为奇函数，∴函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，
∴g(x)的图象也关于点(1,2)对称，则x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝3×2＋3×4＝18.
1.函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________.
2.已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的图象关于点(0,1)对称，且f′(1)＝4，则a－b＝____.
因为f(x)关于点(0,1)对称，所以f(x)＋f(－x)＝2，故f(1)＋f(－1)＝2，即1－a＋b＋1＋(－1)－a－b＋1＝2，解得a＝0，所以f(x)＝x3＋bx＋1，又因为f′(x)＝3x2＋b，所以f′(1)＝3＋b＝4，解得b＝1，所以a－b＝－1.
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心.(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题.
跟踪训练3 (1)函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(2 025)＝___.
∵f(x)的周期为6，则f(2 025)＝f(3)，又f(x＋2)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(3)＝f(1)＝1，∴f(2 025)＝1.
(2)(多选)关于函数f(x)＝sin x＋ 有如下四个命题，其中正确的是A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的图象关于直线x＝ 对称D.f(x)的图象关于点(π，0)对称
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确.
∴f(x＋2π)＝－f(－x)，∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确.
KESHIJINGLIAN
1.如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上A.单调递增且最小值为－5B.单调递减且最小值为－5C.单调递增且最大值为－5D.单调递减且最大值为－5
因为奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.
2.(2022·南昌模拟)函数f(x)＝ 的图象A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝x对称
f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.
3.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 021)等于A.2 B.0 C.－2 D.－4
依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2 021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2 021)＝2.
4.(2022·宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于A.0 B.－1 C.－2 D.2
因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，
5.(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A.y＝f(|x|) B.y＝f(－x)C.y＝xf(x) D.y＝f(x)＋x
由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数.可知BD正确.
6.(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则A.f(x)的图象关于点(2,0)对称B.f(x)的图象关于直线x＝2对称C.f(x)的周期为4D.f(x)的周期为8
∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.
7.(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝____.
因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
同时f(－x)＝f(x)，即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，则有bx＝0，必有b＝0.
由f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x)的周期为4，
设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
故实数a的取值范围是(1,3].
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；
∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式.
∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.
11.(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于A.－7 B.－3 C.3 D.7
12.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a2x－a－2x＋1(a>0，a≠1)，则f(1)等于A.－1 B.0 C.1 D.2
由已知可得f(1)＋g(1)＝a2－a－2＋1，f(－1)＋g(－1)＝a－2－a2＋1，因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(1)－g(1)＝a－2－a2＋1，
13.(多选)(2022·本溪统考)已知定义在R上的奇函数f(x)对∀x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则下列判断正确的是A.f(x)是周期函数且周期为4B.f(x)的图象关于点(1,0)对称C.f(x)的图象关于直线x＝－1对称D.f(x)在[－4,4]上至少有5个零点
对于A选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A项正确；对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B项错误；
对于C选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)，又因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x－2)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故C项正确；对于D选项，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，因为T＝4，
所以f(4)＝f(－4)＝0，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(0＋2)＝－f(0)＝0，所以f(2)＝0，因为T＝4，所以f(－2)＝0，故D项正确.
①＋②得2 022＝2m，即m＝1 011，
15.(多选)(2022·岳阳质检)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数.令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有A.f(－1.1)＝0.9B.函数f(x)为奇函数C.f(x＋1)＝f(x)＋1D.函数f(x)的值域为[0,1)
对于A，f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1＋2＝0.9，故A正确.对于B，取x＝－1.1，则f(－1.1)＝0.9，而f(1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1，故f(－1.1)≠－f(1.1)，所以函数f(x)不为奇函数，故B错误.对于C，f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－[x]－1＝f(x)，故C错误.对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1，当0≤x≤1时，则
当x＝0时，f(0)＝0－[0]＝0，当0
因为函数y＝x是增函数，所以函数y＝x不具有性质P，当A＝1，T＝2π时，函数y＝cs x对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，所以y＝cs x具有性质P.
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值.
设x∈(－π，0]，则x＋π∈(0，π]，由题意得f(x＋π)＝2f(x)＝sin(x＋π)，
由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)，
§2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性
1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
f(－x)＝－f(x)
2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
3.函数对称性常用结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( )(2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)g(x)为奇函数.( )(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期.( )(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.( )
1.下列函数中为偶函数的是A.y＝x2sin x B.y＝x2cs xC.y＝|ln x| D.y＝2－x
根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
2.若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2 023)＝___.
∵f(x)的周期为2，
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________.
(－2,0)∪(2,5]
由图象可知，当0
TANJIUHEXINTIXING
例1 判断下列函数的奇偶性：
命题点1 判断函数的奇偶性
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
显然函数f(x)的定义域为R，
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为A.－2 B.0 C.2 D.4
命题点2 函数奇偶性的应用
依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝____.
方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数.设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
1.已知函数f(x)＝ ，则函数f(x)A.既是奇函数也是偶函数B.既不是奇函数也不是偶函数C.是奇函数，但不是偶函数D.是偶函数，但不是奇函数
由9－x2≥0且|6－x|－6≠0，解得－3≤x≤3且x≠0，可得函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤3且x≠0}，关于原点对称，
所以f(x)是奇函数，但不是偶函数.
∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ ，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝____；当x<0时，f(x)＝_____________.
∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.
例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于
由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定义在R上的奇函数，
(2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝____.
∵f(x)f(x＋2)＝13，
∴f(x)的周期为4，
当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
跟踪训练2 (1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于A.336 D.339
因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×1＋1＝338.
(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝_____.
∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.
例4 (1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是A.f(x)的图象关于直线x＝2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称C.f(x)的周期为4D.y＝f(x＋4)为偶函数
∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
∵函数y＝f(x)－2为奇函数，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
延伸探究 在本例(2)中，把函数“y＝f(x)－2”改为“y＝f(x＋1)－2”，把“g(x)＝ ”改为“g(x)＝ ”，其他不变，求x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6的值.
∵y＝f(x＋1)－2为奇函数，∴函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，
∴g(x)的图象也关于点(1,2)对称，则x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝3×2＋3×4＝18.
1.函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________.
2.已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的图象关于点(0,1)对称，且f′(1)＝4，则a－b＝____.
因为f(x)关于点(0,1)对称，所以f(x)＋f(－x)＝2，故f(1)＋f(－1)＝2，即1－a＋b＋1＋(－1)－a－b＋1＝2，解得a＝0，所以f(x)＝x3＋bx＋1，又因为f′(x)＝3x2＋b，所以f′(1)＝3＋b＝4，解得b＝1，所以a－b＝－1.
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心.(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题.
跟踪训练3 (1)函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(2 025)＝___.
∵f(x)的周期为6，则f(2 025)＝f(3)，又f(x＋2)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(3)＝f(1)＝1，∴f(2 025)＝1.
(2)(多选)关于函数f(x)＝sin x＋ 有如下四个命题，其中正确的是A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的图象关于直线x＝ 对称D.f(x)的图象关于点(π，0)对称
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确.
∴f(x＋2π)＝－f(－x)，∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确.
KESHIJINGLIAN
1.如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上A.单调递增且最小值为－5B.单调递减且最小值为－5C.单调递增且最大值为－5D.单调递减且最大值为－5
因为奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.
2.(2022·南昌模拟)函数f(x)＝ 的图象A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝x对称
f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.
3.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 021)等于A.2 B.0 C.－2 D.－4
依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2 021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2 021)＝2.
4.(2022·宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于A.0 B.－1 C.－2 D.2
因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，
5.(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A.y＝f(|x|) B.y＝f(－x)C.y＝xf(x) D.y＝f(x)＋x
由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数.可知BD正确.
6.(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则A.f(x)的图象关于点(2,0)对称B.f(x)的图象关于直线x＝2对称C.f(x)的周期为4D.f(x)的周期为8
∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.
7.(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝____.
因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
同时f(－x)＝f(x)，即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，则有bx＝0，必有b＝0.
由f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x)的周期为4，
设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
故实数a的取值范围是(1,3].
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；
∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式.
∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.
11.(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于A.－7 B.－3 C.3 D.7
12.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a2x－a－2x＋1(a>0，a≠1)，则f(1)等于A.－1 B.0 C.1 D.2
由已知可得f(1)＋g(1)＝a2－a－2＋1，f(－1)＋g(－1)＝a－2－a2＋1，因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(1)－g(1)＝a－2－a2＋1，
13.(多选)(2022·本溪统考)已知定义在R上的奇函数f(x)对∀x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则下列判断正确的是A.f(x)是周期函数且周期为4B.f(x)的图象关于点(1,0)对称C.f(x)的图象关于直线x＝－1对称D.f(x)在[－4,4]上至少有5个零点
对于A选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A项正确；对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B项错误；
对于C选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)，又因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x－2)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故C项正确；对于D选项，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，因为T＝4，
所以f(4)＝f(－4)＝0，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(0＋2)＝－f(0)＝0，所以f(2)＝0，因为T＝4，所以f(－2)＝0，故D项正确.
①＋②得2 022＝2m，即m＝1 011，
15.(多选)(2022·岳阳质检)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数.令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有A.f(－1.1)＝0.9B.函数f(x)为奇函数C.f(x＋1)＝f(x)＋1D.函数f(x)的值域为[0,1)
对于A，f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1＋2＝0.9，故A正确.对于B，取x＝－1.1，则f(－1.1)＝0.9，而f(1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1，故f(－1.1)≠－f(1.1)，所以函数f(x)不为奇函数，故B错误.对于C，f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－[x]－1＝f(x)，故C错误.对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1，当0≤x≤1时，则
当x＝0时，f(0)＝0－[0]＝0，当0
因为函数y＝x是增函数，所以函数y＝x不具有性质P，当A＝1，T＝2π时，函数y＝cs x对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，所以y＝cs x具有性质P.
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值.
设x∈(－π，0]，则x＋π∈(0，π]，由题意得f(x＋π)＝2f(x)＝sin(x＋π)，
由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)，
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