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新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.6 指数与指数函数
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.6 指数与指数函数，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
§2.6 指数与指数函数
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.根式(1)如果xn＝a，那么__叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子 叫做_____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(3)( )n＝___.当n为奇数时， ＝___，
2.分数指数幂正数的正分数指数幂， ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).正数的负分数指数幂， ＝____＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aras＝_____；(ar)s＝___；(ab)r＝_____(a>0，b>0，r，s∈R).
4.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是___，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) ＝－4.( )(2)2a·2b＝2ab.( )(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.( )(4)若am0，且a≠1)，则m
2.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点_____.
3.已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是_______.
∴ > > ，即a>b>1，又c＝ < ＝1，∴c
例1 (1)(2022·沧州联考) (a>0，b>0)＝____.
原式＝ ＝ .
(2)若 ＋ ＝3(x>0)，则 ＝____.
由 ＋ ＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45. ＋ ＝ ＋＝ (x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴ ＝ .
(2022·杭州模拟)化简 (a>0，b>0)的结果是
＝＝
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
原式＝ ＝＝ ＝ .
跟踪训练1 (1)已知a>0，则 化为A. B. C. D.
原式＝ －1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8.
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是A.a＝b＝0 B.a
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0
跟踪训练2 (1)(2022·吉林模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是
由图象可知，b<－1,0
由题设知，∃x>0使x＋a0时有y1＝e－x∈(0,1)，而y＝x＋a∈(a，＋∞)，∴当a<1时，∃x>0，使得ex(x＋a)<1成立.
例3 (1)(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.a>c>b
命题点1 比较指数式的大小
∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3，∴01.20＝1，∴c>b>a.
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)0，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 (1)(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是A.[2,4] B.(－∞，0)C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2]
∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.
所以 解得a>4.
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是_________.
即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
1.(多选)下列各式比较大小正确的是>1.73 B. >0.93.1 D.
∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确； ＝ ，y＝ 为减函数，∴ ＝ ，故B正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C正确；
又y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，∴ ，∴ ，故D正确.
2.(2022·泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－ ，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________.
所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练3 (1)设m，n∈R，则“m1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
∴m－n<0，∴m
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
KESHIJINGLIAN
1.(2022·佛山模拟)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则A.c
2.若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则A.a>1，b>1 B.a>1,01 D.0
3.(2022·福建三明一中检测)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是
当a>1时，函数单调递增，f(x)max＝2f(x)min，∴f(2)＝2f(1)，∴a2＝2a，∴a＝2；当0
由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即 ＝ ，所以 ＝2，即0.38(t2－t1)＝ln 2，
5.(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是
由图可得a1＝2，即a＝2，
在(－∞，0)上单调递增，故B正确；
结合指数函数图象可知C错误；
y＝|lgax|＝|lg2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确.
令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).
当0
＝ ＝1.
当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
所以实数a的取值范围是[－3,0).
9.已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24).(1)求f(x)的解析式；
因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.
由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，
10.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是奇函数.(1)求实数k的值；
∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，所以k＝2.
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，∵f(1)<0，
∴00
可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2(1－a)bB.(1－a)b>C.(1＋a)a>(1＋b)bD.(1－a)a>(1－b)b
因为0
所以C错误；因为0<1－b<1－a<1，所以(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，所以D正确.
12.(多选)(2022·南京模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是
①当a>1时，由图象得0<2a<1，
∵a>1，∴此种情况不存在；②当0
∵ex>0，∴ex＋1>1，
∴[f(x)]为－2或－1或0.
14.(2022·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________.
∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴ ＋m－1＝－ －m＋1，∴2m＝－ － ＋2，构造函数y＝－ － ＋2，x0∈[－1,1]，
在(1,3]上单调递减，∴t＝1取得最大值0，
15.(2022·重庆南开中学月考)定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(lg43)＝________.
根据题意，对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，又∵f(x)是定义在R上的增函数，∴在R上存在常数a使得f(a)＝3，∴f(x)＝2x＋a，∴f(a)＝2a＋a＝3，解得a＝1，∴f(x)＝2x＋1，
16.(2022·上海模拟)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
∵函数f(x)＝2x＋a·2－x的定义域为x∈R，又∵f(－x)＝2－x＋a·2x，∴①当f(－x)＝f(x)，即2－x＋a·2x＝2x＋a·2－x时，可得a＝1，即当a＝1时，函数f(x)为偶函数；②当f(－x)＝－f(x)，即2－x＋a·2x＝－(2x＋a·2－x)＝－2x－a·2－x时，可得a＝－1，即当a＝－1时，函数f(x)为奇函数.
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围.
由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1，即f(x)＝2x＋2－x，f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2，由题可得，(2x＋2－x)2－2－k(2x＋2－x)＝3⇔(2x＋2－x)2－k(2x＋2－x)－5＝0，令t＝2x＋2－x，则有t2－kt－5＝0，∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
§2.6 指数与指数函数
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.根式(1)如果xn＝a，那么__叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子 叫做_____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(3)( )n＝___.当n为奇数时， ＝___，
2.分数指数幂正数的正分数指数幂， ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).正数的负分数指数幂， ＝____＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aras＝_____；(ar)s＝___；(ab)r＝_____(a>0，b>0，r，s∈R).
4.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是___，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) ＝－4.( )(2)2a·2b＝2ab.( )(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.( )(4)若am
2.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点_____.
3.已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是_______.
∴ > > ，即a>b>1，又c＝ < ＝1，∴c
例1 (1)(2022·沧州联考) (a>0，b>0)＝____.
原式＝ ＝ .
(2)若 ＋ ＝3(x>0)，则 ＝____.
由 ＋ ＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45. ＋ ＝ ＋＝ (x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴ ＝ .
(2022·杭州模拟)化简 (a>0，b>0)的结果是
＝＝
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
原式＝ ＝＝ ＝ .
跟踪训练1 (1)已知a>0，则 化为A. B. C. D.
原式＝ －1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8.
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是A.a＝b＝0 B.a
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0
跟踪训练2 (1)(2022·吉林模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是
由图象可知，b<－1,0
由题设知，∃x>0使x＋a
例3 (1)(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.a>c>b
命题点1 比较指数式的大小
∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3，∴0
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 (1)(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是A.[2,4] B.(－∞，0)C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2]
∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.
所以 解得a>4.
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是_________.
即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
1.(多选)下列各式比较大小正确的是>1.73 B. >0.93.1 D.
∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确； ＝ ，y＝ 为减函数，∴ ＝ ，故B正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C正确；
又y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，∴ ，∴ ，故D正确.
2.(2022·泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－ ，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________.
所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练3 (1)设m，n∈R，则“m
∴m－n<0，∴m
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
KESHIJINGLIAN
1.(2022·佛山模拟)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则A.c
2.若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则A.a>1，b>1 B.a>1,0
3.(2022·福建三明一中检测)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是
当a>1时，函数单调递增，f(x)max＝2f(x)min，∴f(2)＝2f(1)，∴a2＝2a，∴a＝2；当0
由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即 ＝ ，所以 ＝2，即0.38(t2－t1)＝ln 2，
5.(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是
由图可得a1＝2，即a＝2，
在(－∞，0)上单调递增，故B正确；
结合指数函数图象可知C错误；
y＝|lgax|＝|lg2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确.
令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).
当0
＝ ＝1.
当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
所以实数a的取值范围是[－3,0).
9.已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24).(1)求f(x)的解析式；
因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.
由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，
10.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是奇函数.(1)求实数k的值；
∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，所以k＝2.
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，∵f(1)<0，
∴0
可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2
因为0
所以C错误；因为0<1－b<1－a<1，所以(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，所以D正确.
12.(多选)(2022·南京模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是
①当a>1时，由图象得0<2a<1，
∵a>1，∴此种情况不存在；②当0
∵ex>0，∴ex＋1>1，
∴[f(x)]为－2或－1或0.
14.(2022·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________.
∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴ ＋m－1＝－ －m＋1，∴2m＝－ － ＋2，构造函数y＝－ － ＋2，x0∈[－1,1]，
在(1,3]上单调递减，∴t＝1取得最大值0，
15.(2022·重庆南开中学月考)定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(lg43)＝________.
根据题意，对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，又∵f(x)是定义在R上的增函数，∴在R上存在常数a使得f(a)＝3，∴f(x)＝2x＋a，∴f(a)＝2a＋a＝3，解得a＝1，∴f(x)＝2x＋1，
16.(2022·上海模拟)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
∵函数f(x)＝2x＋a·2－x的定义域为x∈R，又∵f(－x)＝2－x＋a·2x，∴①当f(－x)＝f(x)，即2－x＋a·2x＝2x＋a·2－x时，可得a＝1，即当a＝1时，函数f(x)为偶函数；②当f(－x)＝－f(x)，即2－x＋a·2x＝－(2x＋a·2－x)＝－2x－a·2－x时，可得a＝－1，即当a＝－1时，函数f(x)为奇函数.
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围.
由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1，即f(x)＝2x＋2－x，f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2，由题可得，(2x＋2－x)2－2－k(2x＋2－x)＝3⇔(2x＋2－x)2－k(2x＋2－x)－5＝0，令t＝2x＋2－x，则有t2－kt－5＝0，∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
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