新高考数学一轮复习课件 第5章 §5.3　平面向量的数量积

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§5.3　平面向量的数量积
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积，记作_____.
4.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝_________.
5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
x1x2＋y1y2＝0
x1y2－x2y1＝0
1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是 .(　　)(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角.(　　)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(　　)(4)(a·b)·c＝a·(b·c).(　　)
1.(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是A.0·a＝0B.a·b＝b·c，则a＝cC.a·b＝0⇒a⊥bD.(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
设a，b的夹角为θ，依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3·cs θ－2×32＝0，
2.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.3.已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________.
TANJIUHEXINTIXING
例1　(1)(2021·北京)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_____；a·b＝_____.
平面向量数量积的基本运算
0 　 3
∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，∴a＋b＝(4,0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
∴四边形ABCD为平行四边形，
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，
计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
建立如图所示的平面直角坐标系，
∴P为BC的中点.∴点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，
例2　已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝_______，|a－3b|＝________.
因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，
例3　(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉等于
∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，
例4　(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
方法一　a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，
方法二　由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，
1.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为
设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
2.已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝ ，则|e1－e2|＝________.
所以2e1·e2＝1，
所以|e1－e2|＝1.
(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝ 及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.
(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cs θ＝ ，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
方法一　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，
(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则
例5　(多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示).假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是
由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ＝2|F1|2＋2|F1|2cs θ，
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.
若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ ，F1与F2的夹角为45°，求：(1)F3的大小；
∵三个力平衡，∴F1＋F2＋F3＝0，
(2)F3与F1夹角的大小.
方法一　设F3与F1的夹角为θ，
方法二　设F3与F1的夹角为θ，由余弦定理得
用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3　(2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应A.在A′东侧 B.在A′西侧C.恰好与A′重合 D.无法确定
说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A′东侧.
例1　在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则
例2　已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则 的最小值是________.
如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x－y＋2＝0时，
例3　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是
M为AB的中点，由极化恒等式有
点C的轨迹是以AB为直径的圆，且点O也在此圆上，
KESHIJINGLIAN
1.(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b
由题意得|a|＝|b|＝1，设a，b的夹角为θ＝60°，
对A项，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2
对B项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2
对C项，(a－2b)·b＝a·b－2b2
因为b∥c，所以c＝λb＝(2λ，λ)(λ∈R)，又a·c＝4λ－2λ＝2λ＝4，
2.(2022·石家庄模拟)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2,1)，b∥c，a·c＝4，则|c|等于
3.(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为
|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，等号左右同时平方，得|a＋b|2＝|a－b|2＝4|a|2，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b＝4|a|2，所以a·b＝0且|b|2＝3|a|2，
4.已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为
由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，∵(a－2b)⊥c，∴(a－2b)·c＝0，即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，解得k＝6，∴b＝(6，－3)，
5.(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有A.(a＋b)·c＝a·c＋b·cB.(a·b)·c＝a·(b·c)C.a·b≤|a|·|b|D.|a－b|≤|a|＋|b|
根据数量积的分配律可知A正确；选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cs〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cs〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.
6.(多选)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b上的投影向量为C.2m＋n＝4D.mn的最大值为2
对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确.
7.(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.
8.(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
10.(2022·湛江模拟)已知向量m＝( sin x，cs x－1)，n＝(cs x，cs x＋1)，若f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝ ，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长.
11.(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则 等于A.12 B.－12C.20 D.－20
如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，
A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形
所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
所以△ABC为等边三角形.
13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝ 则物体的重力大小为________ N.
∴物体的重力大小为20 N.
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
＝4x2＋4x(1－2x)×cs 0°＋(1－2x)2＝1，
15.(多选)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝ (a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是A.a⊗b＝b⊗aB.λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)C.(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗cD.若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1
当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故A正确；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故B错误；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D正确.
16.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.(1)求角C的大小；
m·n＝sin Acs B＋sin Bcs A＝sin(A＋B)，在△ABC中，A＋B＝π－C,0(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且 ＝18，求c.
由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.
即abcs C＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，