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    新高考数学一轮复习课件 第7章 §7.8 空间距离及立体几何中的探索性问题

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    新高考数学一轮复习课件 第7章 §7.8 空间距离及立体几何中的探索性问题

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    这是一份新高考数学一轮复习课件 第7章 §7.8 空间距离及立体几何中的探索性问题,共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识,探究核心题型,课时精练等内容,欢迎下载使用。
    1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具,探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.
    LUOSHIZHUGANZHISHI
    2.点到平面的距离如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就
    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.(  )(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度.(  )(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(  )(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(  )
    1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为
    由条件可得P(-2,1,4)到α的距离为
    TANJIUHEXINTIXING
    例1 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离;
    建立如图所示的空间直角坐标系,
    ∵N是CC1的中点,∴N(0,4,2).
    设点N到直线AB的距离为d1,
    (2)求点C1到平面ABN的距离.
    设平面ABN的一个法向量为n=(x,y,z),
    设点C1到平面ABN的距离为d2,
    1.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为___.
    如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),
    故点P到直线BD的距离
    2.如图,已知△ABC为等边三角形,D,E分别为AC,AB边的中点,把△ADE沿DE折起,使点A到达点P,平面PDE⊥平面BCDE,若BC=4.求直线DE到平面PBC的距离.
    如图,设DE的中点为O,BC的中点为F,连接OP,OF,OB,因为平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,所以OP⊥平面BCDE.因为在△ABC中,点D,E分别为AC,AB边的中点,所以DE∥BC.因为DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以DE∥平面PBC.又OF⊥DE,
    所以以点O为坐标原点,OE,OF,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),
    令y=z=1,所以n=(0,1,1).
    设点O到平面PBC的距离为d,
    因为点O在直线DE上,
    (2)若能求出点在直线上的射影坐标,可以直接利用两点间距离公式求距离.
    如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),
    则点O到平面ABC1D1的距离
    设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
    令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离
    因为平面A1BD∥平面B1CD1,
    (2)(2022·枣庄检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则△D1GF的面积为______.
    以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略),则D1(0,0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),
    ∴点D1到直线GF的距离
    立体几何中的探索性问题
    例2 (2021·北京)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E为A1D1中点,直线B1C1交平面CDE于点F.
    (1)求证:点F为B1C1的中点;
    如图所示,取B1C1的中点F′,
    连接DE,EF′,F′C,由于ABCD-A1B1C1D1为正方体,E,F′为中点,故EF′∥CD,从而E,F′,C,D四点共面,平面CDE即平面CDEF′,据此可得,直线B1C1交平面CDE于点F′,当直线与平面相交时只有唯一的交点,故点F与点F′重合,即点F为B1C1的中点.
    以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,
    则M(2,2λ,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2),
    设平面MCF的法向量为m=(x1,y1,z1),则
    设平面CFE的法向量为n=(x2,y2,z2),则
    令z2=-1可得n=(2,0,-1),
    (1)求证:平面ABB1A1⊥平面ABC;
    如图,取AB的中点D,连接CD,B1D.
    因为三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,
    又因为AB⊥B1C,且CD∩B1C=C,CD,B1C⊂平面B1CD,所以AB⊥平面B1CD.又因为B1D⊂平面B1CD,所以AB⊥B1D.在Rt△B1BD中,BD=1,B1B=2,
    所以CD2+B1D2=B1C2,所以CD⊥B1D,又因为AB⊥B1D,AB∩CD=D,AB,CD⊂平面ABC,所以B1D⊥平面ABC.又因为B1D⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面ABC.
    假设在棱BB1上存在点P满足条件.以DC,DA,DB1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    因为点P在棱BB1上,
    设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z),
    化简得16λ2-8λ+1=0,
    (1)对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数.
    跟踪训练2 如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点.
    (1)求证:AC⊥SD;
    如图,连接BD,设AC交BD于点O,连接SO.
    由题意知,SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,
    故OC⊥SD,从而AC⊥SD.
    (2)若SD⊥平面PAC,求平面PAC与平面DAC夹角的大小;
    设平面PAC与平面DAC的夹角为θ,
    所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°.
    (3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
    假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
    由于BE⊄平面PAC,故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在点E,使BE∥平面PAC,此时SE∶EC=2∶1.
    KESHIJINGLIAN
    (1)求点A到平面PCF的距离;
    由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图,
    则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),0≤m≤3a,
    ∴m=2a,即F(0,2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),
    取x=1,得n=(1,1,2).
    (2)求AD到平面PBC的距离.
    设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),
    取x0=1,得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h,
    ∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴h为AD到平面PBC的距离,
    2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD的中点.
    (1)求证:PA⊥平面ABCD;
    因为四边形ABCD为正方形,则BC⊥AB,CD⊥AD,因为PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因为PA⊂平面PAB,所以PA⊥BC,因为PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,因为PA⊂平面PAD,所以PA⊥CD,因为BC∩CD=C,BC,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.
    (2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值;
    因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,不妨以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),设平面ACE的法向量为m=(x,y,z),
    取y=1,可得m=(-1,1,-1),
    设点F(2,t,0)(0≤t≤2),设平面PAF的法向量为n=(a,b,c),
    取a=t,则n=(t,-2,0),
    (1)若点M是AD的中点,求证:C1M⊥A1C;
    如图,取BC的中点Q,连接AQ,AC,∵四边形ABCD为菱形,则AB=BC,∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∵Q为BC的中点,则AQ⊥BC,∵AD∥BC,∴AQ⊥AD,由于AA1⊥平面ABCD,以点A为坐标原点,以AQ,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
    设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z),
    平面ADD1的一个法向量为m=(1,0,0),
    4.(2022·潍坊模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.
    (1)求证:PO⊥平面ABCD;
    因为△PAD是正三角形,O是AD的中点,所以PO⊥AD.又因为CD⊥平面PAD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥CD.又AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.
    (2)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小;
    如图,连接OG,以O点为坐标原点,分别以OA,OG,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),
    设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),
    又平面ABCD的法向量n=(0,0,1),设平面EFG与平面ABCD的夹角为θ,
    (3)在线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成的角为 ,若存在,求线段PM的长度;若不存在,请说明理由.
    不存在,理由如下:假设在线段PA上存在点M,

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