新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.3　圆的方程

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1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|0，b>0)，
化简得|4a－3b|＝5，①又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，
所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
例2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；
设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y).因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
设PQ的中点为N(x，y).在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2　(1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是A.(x＋3)2＋y2＝1B.(x－3)2＋y2＝1C.(2x－3)2＋4y2＝1D.(2x＋3)2＋4y2＝1
设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，
又因为P在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.
(2)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0
由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.
命题点1　利用几何性质求最值例3　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；
由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，
(3)求y－x的最大值和最小值.
设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
∴b＝9或b＝1.∴y－x的最大值为9，最小值为1.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
命题点2　利用函数求最值例4　(2022·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0).则 的最大值为_____.
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
1.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为A.7 B.6 C.5 D.4
∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.
2.若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为
由已知得线段AB为圆的直径.所以|PA|2＋|PB|2＝4，
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
跟踪训练3　(1)已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－ )2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为A.9 B.14 C.16 D.26
设O为坐标原点，P(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.
所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9，所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.
由x2＋y2－4x－2y－4＝0得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点.设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，
KESHIJINGLIAN
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16
将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.
2.圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1
已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为A.x2＋y2－2x－3＝0B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2＋2x－3＝0D.x2＋y2－4x＝0
设圆心为(a，0)(a>0)，
则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D.
4.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，
因为点Q在圆x2＋y2＝4上，
即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5.(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是A.圆M的圆心坐标为(1,3)B.圆M的半径为C.圆M关于直线x＋y＝0对称D.点(2,3)在圆M内
设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为(2－1)2＋(3－3)2＝10)，
且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
解得a＝3，b＝－2，r＝5，∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值.
10.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
设点P的坐标为(x，y)，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求.
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.
曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，
11.点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是A.(x－1)2＋y2＝4B.(x－1)2＋y2＝2C.y2＝2xD.y2＝－2x
又圆心坐标为(1,0)，设P(x，y)，∴由两点间的距离公式，得(x－1)2＋y2＝2.
设等边△ABC的边长为a，
解得a＝6.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.
13.(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2，－1)在满足条件的圆C上
因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；
14.已知长为2a(a＞0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为_____________.
如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P(x，y)与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
15.已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝_____；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是__________.
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为
16.在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m).若存在以AB为直径的圆过点C，
得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，