新高考数学一轮复习课件 第10章 §10.10　概率、统计与其他知识的交汇问题　培优课

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§10.10　概率、统计与其他知识的交汇问题 培优课
概率、统计与数列的综合问题
例1　为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的.若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为 .每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为 ，取得成功记1分，否则记0分.若选择动作B，取得成功的概率为 ，取得成功记2分，否则记0分.总得分记为X分.(1)若m＝2，求分数X的分布列与均值.(若结果不为整数，用分数表示)
进行两次试验，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
(2)若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G(n)，如G(1)＝ .①求G(2)；
②问是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}为等比数列，其中n∈N*，n≥2？若有，求出λ；若没有，请说明理由.
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.
跟踪训练1　(2022·大连模拟)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步.(1)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z，则P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝ ，P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝ ，
P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝ ，
②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值.
由①知X的所有可能取值为4,5,6,7,8，
P(X＝6)＝ ，
(2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N*)的概率记为pn，求pn的最大值.
概率、统计与函数的综合问题
例2　(2021·新高考全国Ⅱ)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3).(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p1，故p2＋2p3>p0.此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)0，故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3