2022天津南开区高三上学期期末考试数学试题含解析

2021—2022学年度第一学期南开区期末考试试卷

高三年级数学学科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.

第I卷

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

球的体积公式，其中R表示球的半径.

锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若全集，，，则（    ）.

A.  B.  C.  D.

2. 设，则“”是“”的（    ）.

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 函数y=sin2x的图象可能是

A.  B.

C.  D.

4. 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示.根据此图可知这批样本中寿命不低于300h的电子元件的个数为（    ）.

A. 800 B. 750 C. 700 D. 650

5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）.

A.  B.  C.  D.

6. 设P，A，B，C为球O表面上的四个点，，，两两垂直，且，，三棱锥的体积为18，则球O的体积为（    ）.

A.  B.  C.  D.

7. 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0，＜φ＜)图象关于直线对称，它的最小正周期为π，则(　 　)

A. f(x)的图象过点(0，) B. f(x)在上是减函数

C. f(x)一个对称中心是 D. f(x)的一个对称中心是

8. 已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（    ）.

A.  B.  C.  D.

9. 函数的所有零点之和为（    ）.

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

第Ⅱ卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.

10. 设i为虚数单位，则________.

11. 二项式展开式中，常数项是________.

12. 已知直线与圆相交于两点，则______.

13. 对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过.已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为________；在3轮测试中，通过的次数X的期望是________.

14. 已知，，则最小值为________.

15. 在四边形中，，，，则________；若E，F分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是________.

三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，.

（1）求角B；

（2）求a，c；

（3）求的值.

17. 如图，四棱锥中，底面，，，，，E为上一点，且.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求平面与平面的夹角的大小.

18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设斜率不为零直线与椭圆C的另一个交点为Q.

（i）求的取值范围；

（ii）若的垂直平分线交y轴于点，求直线的斜率.

19. 在等比数列中，已知，且，，依次是等差数列的第2项，第5项，第8项.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列的前n项和为.

（i）求；

（ii）求证：.

20. 已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；

（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由.