直线与圆锥曲线的位置关系专题提升2022-2023高三二轮复习

这是一份直线与圆锥曲线的位置关系专题提升2022-2023高三二轮复习，共48页。
\l "_Tc130483173" 第二类：双动点类型 PAGEREF _Tc130483173 \h 8
\l "_Tc130483174" 常见问题处理方法 PAGEREF _Tc130483174 \h 12
\l "_Tc130483175" 一、位置关系问题处理方法 PAGEREF _Tc130483175 \h 12
\l "_Tc130483176" 二、弦长面积问题处理方法 PAGEREF _Tc130483176 \h 23
\l "_Tc130483177" 三、最值及范围问题处理方法 PAGEREF _Tc130483177 \h 28
\l "_Tc130483178" 四、定点问题处理方法 PAGEREF _Tc130483178 \h 32
\l "_Tc130483179" 五、角度问题处理方法 PAGEREF _Tc130483179 \h 39
直线与圆锥曲线的位置关系专题提升
解析几何
（1）解析几何的任务是用代数方法研究几何图形，这就奠定了数形结合思想、转化与化归思想的主导地位。
(2)解析几何主要研究内容是曲线与方程的关系，这就注定了函数与方程思想是解题的基本思想。
教学建议
(1)选择几何特征鲜明的习题，引导学生将这些鲜明的几何特征解析化，突出“平面几何”与“解析法”的相互转化。
(2)突出变式教学
在问题解决的教学过程中，当学生获得一系列基本解法后，应通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种途径，强化学生对知识和方法的理解、掌握和变通，帮助学生对问题进行多方面、多角度、多层次的思考，使思维不局限于固定的理解和某一固定的模式，从而提出新问题或获得同一问题的多种解法或多种结果.这样可使学生学一题会一类题，做一道题会一串题，从而使备考深化，提高复习的层次和效率。
（3)把握本质，多题归一
收敛思维就是思维主体把从不同渠道得到的各种信息聚合起来，重新加以组织，使之明确无误地指向一个(或一种)选择。多题归一实际上就是收敛思维。对于“形异质同”的问题，要深刻地挖掘其本质，以本质为核心统领这些问题，跳出题海，事半功倍。
直线与圆锥曲线两大类型
第一类：单动点问题
处理技巧：找出主动点与被动点之间的联系。设主动点，核心用主动点表示被动点。
【习题精练】
1、已知椭圆的离心率,焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点,动点满足,连接,交椭圆E于点.证明:为定值（为坐标原点）.
2、已知椭圆的离心率为的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴于点.求证:为定值.
3、已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
4、已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）设动直线与轴相交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的最小值.
5、已知椭圆.
（Ⅰ）求椭圆的离心率;
（Ⅱ）设为原点,若点在直线上,点在椭圆上,且,求线段长度的最小值.
第二类：双动点类型
处理技巧：
第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为;设直线与圆锥曲线的两个交点为,
第二步:联立方程组,消去y 得关于x的一元二次方程;
第三步:由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件,
第四步:把所要解决的问题转化为; ,然后代入、化简.
1、已知椭圆:的长轴长为,离心率为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点,点的坐标为,记直线,的斜率分别为,.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）当时,求直线的斜率;
（Ⅲ）求证:为定值.
2、已知抛物线经过点.过点的直线与抛物线有两个不同的交点,且直线交轴于,直线交轴于.
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围;
（Ⅱ）设为原点,,求证:为定值.
3、已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，且离心率为eq \f(\r(2),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值(O为坐标原点)．
4、已知椭圆：的离心率为,焦距为,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）若,求的最大值;
（Ⅲ）设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若,和点共线,求.
常见问题处理方法
一、位置关系问题处理方法
1.直线对称倾斜角互补
斜率互为相反数
等腰三角形


倾斜角互补

2.直线垂直以AB为直径的圆过原点O 直径所对的圆周角
在圆内动弦AB长度为定值（即AB为直径）



四边形满足(平行四边形)，且
3.若原点O在以线段AB为直径的圆上直角
若原点O在以线段AB为直径的圆内钝角
若原点O在以线段AB为直径的圆外直角
4.中位线
5.三点共线

原点O为AB的中点
6.向量共线若与共线
7.平行四边形
8.对应边成比例成等比数列


9.对角线，且

1、已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且M到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线OA与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.
(I)求抛物线的方程和的坐标；
(Ⅱ)判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
2、已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于两点,直线与直线交于点.
（Ⅰ）求椭圆 QUOTE \* MERGEFORMAT 的离心率;
（Ⅱ）若垂直于轴,求直线的斜率;
（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
3、已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点, 若点在直线上，直线与椭圆交于另一点判断是否存在点，使得四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
4、已知抛物线的准线方程为，焦点为，为抛物线上异于原点的一点.
(Ⅰ)若，求以线段为直径的圆的方程；
(Ⅱ)设过点且平行于的直线交抛物线于两点，判断四边形能否为等腰梯形？若能，求直线的方程；若不能，请说明理由.
5、已知椭圆的两个焦点为离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设点是椭圆的右顶点,过点的直线与椭圆交于两点,直线与直线分别交于两点.求证:点在以为直径的圆上.
6、已知动点到点和直线l：的距离相等.
（Ⅰ）求动点的轨迹E的方程；
（Ⅱ）已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论
7、已知椭圆点.
（Ⅰ）求椭圆的短轴长与离心率;
（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于,两点,设的中点为,判断与的大小,并证明你的结论.
8、已知抛物线的焦点为,过抛物线上的动点（除顶点外）作的切线交轴于点.过点作直线的垂线（垂足为）与直线交于点.
（Ⅰ）求焦点的坐标;
（Ⅱ）求证:;
（Ⅲ）求线段的长.
9、已知和椭圆,是椭圆的左焦点.
（Ⅰ）求椭圆的离心率和点的坐标;
（Ⅱ）点在椭圆上,过作轴的垂线,交于点（,不重合）,是过点的的切线,的圆心为点,半径长为,试判断直线与的位置关系,并证明你的结论.
二、弦长面积问题处理方法
1、设直线方程为：型.
考虑斜率不存在时，例如直接带入曲线方程解得相应坐标，利用两点之间坐标公式求解即可；
当斜率存在时，设斜率为k的直线l与椭圆交于，两点，联立直线与曲线方程，可以得到关于的一元二次方程，则
=
（为直线斜率,）.
（2）设直线为：型.
考虑直线平行于轴时，此时不存在.例如直接带入曲线方程，解出相应的坐标，利用两点之间坐标公式求解即可；
当存在时，设出直线的方程，与圆锥曲线相较于 两点，A()，B()，联立直线与曲线方程，可以得到关于 的一元二次方程.
则|AB|＝
2、面积问题处理方法与技巧
（1）三角形面积问题
直线方程：
（2）焦点三角形的面积
焦点三角形：为椭圆上异于长轴端点的点，为两个焦点，
则称作焦点三角形．若，则的面积．
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
（3）平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
已知椭圆的离心率是，且过点．直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线分别与轴交于点．判断，的大小关系，并加以证明．
2、已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，求△（为原点）面积的最大值．
三、最值及范围问题处理方法
处理方法：首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）
（2）
当且仅当时，等号成立
（3）
当且仅当时等号成立.
（4）
当且仅当时，等号成立
(5)
当且仅当时等号成立.
1、已知抛物线经过点,是抛物线上异于点的不同的两点,其中为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
（Ⅱ）若,求面积的最小值.
2、已知椭圆为右焦点,圆为椭圆上一点,且位于第一象限,过点作与圆相切于点,使得点在两侧.
（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率;
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
3、已知,分别是椭圆:的左、右焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若分别在直线和上，且.
(ⅰ)当为等腰三角形时,求的面积；
(ⅱ)求点,到直线距离之和的最小值.
四、定点问题处理方法
1.定值问题
基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式
2.椭圆常用结论
1.过椭圆 (上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.
2.已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.
1）;
2）的最大值为;
3）的最小值是.
1、已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．
2、已知抛物线过点
（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并加以证明.
3、在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，
试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.
4、已知椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过轴上的定点.
5、已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点．
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)当与垂直时，求的长；
(Ⅲ)若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点．
6、已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b≥1)的离心率为eq \f(\r(2),2)，其右焦点到直线2ax＋by－eq \r(2)＝0的距离为eq \f(\r(2),3).
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,3)))的直线l交椭圆C1于A，B两点．证明：以AB为直径的圆恒过定点．
五、角度问题处理方法
（1）垂直角度问题的定义：（1）垂直；（2）角度.
（2）需要掌握的东西：（1）题型的转化；（2）计算问题：的值；
（3）为锐角锐角三角形（为最大的角）
为钝角钝角三角形
为直角直角三角形
（矩形，以为直径的圆过原点，三角形的垂线问题）
（4）转化问题：（1）垂直问题；（2）角度问题.
垂直与角度常考题型
以为直径的圆过原点
推广：以为直径的圆过焦点
可以看得出，同样可以采用整体法处理.
1、设抛物线，点,，过，的直线与交于，.
(Ⅰ)当与轴垂直时，求直线的方程；
（Ⅱ）证明：．
2、设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：．
3、已知椭圆的离心率等于,经过其左焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）为坐标原点,在轴上是否存在定点,使得点到直线的距离总相等？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
4、已知椭圆的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程,并求点的坐标(用表示);
（Ⅱ）设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点,问：轴上是否存在点,使得？若存在,求点的坐标,若不存在,说明理由.
5、已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；
（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；
（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．
6、已知椭圆的一个焦点为，离心率为.为椭圆的左顶点，为
椭圆上异于的两个动点，直线与直线分别交于两点.
（ = 1 \* ROMAN I）求椭圆的方程；
（ = 2 \* ROMAN II）若与的面积之比为，求的坐标；
（ = 3 \* ROMAN III）设直线与轴交于点，若三点共线，求证：.
7、已知椭圆G:，左、右焦点分别为、，若点在椭圆上，
（Ⅰ）椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线，与轴分别交于，两点，求证：．
8、已知椭圆三点中恰有二点在椭圆上,且离心率
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设为椭圆上任一点,为椭圆的左右顶点,为中点,求证:直线与直线的斜率之积为定值;
（Ⅲ）若椭圆的右焦点为过的直线与椭圆交于求证:直线与直线关于直线对称.
9、已知椭圆点.
（Ⅰ）求椭圆的短轴长与离心率;
（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于,两点,设的中点为,判断与的大小,并证明你的结论.