2023高三讲义--圆锥曲线解析几何（平面向量问题）专题 - 二轮复习 -

这是一份2023高三讲义--圆锥曲线解析几何（平面向量问题）专题 - 二轮复习 -，共45页。学案主要包含了知识点二：垂直问题，典型例题，小试牛刀，巩固练习——基础篇，巩固练习——提高篇等内容，欢迎下载使用。
【课前测】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求的值.
2.已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于,两点.
(ⅰ)若直线垂直于轴,求的大小;
(ⅱ)若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
【知识点一：向量相关知识点问题】
1. 三点共线：
①；
②存在实数，使；
③若存在实数，且，使．
2.给出，等于已知，即是直角；
给出，等于已知是钝角，
给出，等于已知是锐角．
3.给出，等于已知是的平分线．
4.在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）．
5.如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．
【知识点二：垂直问题】
1.垂直
以为直径的圆过原点

故
两边同时乘以，整体处理得
消去高次项得
即找了的关系式.
推广：以为直径的圆过焦点
可以看得出，同样可以采用整体法处理.
2.角度问题
成锐角或钝角
原点在以为直径的圆内
易得
原点在以为直径的圆外
易得
【典型例题】
考点一：：垂直问题之矩形问题
例1-已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；
（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.

练1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，是否存在实数，使 成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

例2已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．
例3.已知椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围.
练3.已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点.
（Ⅰ）求的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
练4已知椭圆，
（1）求椭圆的离心率.
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
考点二：：垂直问题之三角形问题
例1.椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求的值.
练1.已知是椭圆上两点，点的坐标为.
（Ⅰ）当关于点对称时，求证：；
（Ⅱ）当直线经过点 时，求证：不可能为等边三角形.
例2.已知椭圆（）过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线倾斜角的取值范围.
考点三： 角度问题
例1.设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：△为钝角三角形．
练1.已知椭圆：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为
（1）求椭圆C的方程
（2）设过点B（0，m）（m>0）的直线l与椭圆C相交于E,F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围
练2.已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程
（Ⅱ）若直线垂直于轴，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围。
【知识点二：共线比例问题】
【典型例题】
考点一：共线问题
例1在平面直角坐标系xOy中，经过点（0, ）且斜率为k的直线l与椭圆 有两个不同的交点P和Q.
(Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
练1已知椭圆的焦距为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围.
例2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程.
练2已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．
例3设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；
x
O
y
Q
A
·
·
F2
F1
（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围.
例4．已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,,三点共线．
练4.在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；
（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．
考点二：比例问题
例1．设椭圆Ｃ：的左焦点分别为是椭圆Ｃ上的一点，且，坐标原点Ｏ到直线的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）设Ｑ是椭圆Ｃ上的一点，过点Ｑ的直线交轴于点，交轴于点Ｍ，若，求直线的斜率
练1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.
【小试牛刀】
例1．已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于,两点.
(ⅰ)若直线垂直于轴,求的大小;
(ⅱ)若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
2. 已知椭圆的离心率，点为椭圆的右点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，若在轴上存在着动点，使得以为邻边的菱形，试求出的取值范围.
3.已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程
（Ⅱ）若直线垂直于轴，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围。
4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.
【巩固练习——基础篇】
1.已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标；
（Ⅱ）求证：，，三点共线．
2.已知椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于两点，直线分别交轴于不同的两点. 如果为锐角，求的取值范围．
3.已知椭圆：的右焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程以及离心率；
（Ⅱ）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
4.已知椭圆,椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,与有相同的离心率,且过椭圆的长轴端点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）设为坐标原点,点分别在椭圆,上,若,求直线的方程.
5.已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右顶点,且交椭圆于另一点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）若以为直径的圆经过椭圆的上顶点,求直线的方程.
6.已知圆的切线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的离心率;
（Ⅱ）求证:;
（Ⅲ）求面积的最大值
7.已知椭圆经过点，离心率为.是椭圆上两点，且直线的斜率之积为为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值.
【巩固练习——提高篇】
已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于两点,点为椭圆的左焦点.
（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标;
（Ⅱ）求证:直线与椭圆相切;
（Ⅲ）判断是否为定值,并说明理由.
2.已知椭圆: 的长轴长为4,左、右顶点分别为,经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（Ⅰ）当,且直线轴时,求四边形的面积;
（Ⅱ）设,直线与直线相交于点,求证:三点共线.
3.已知椭圆：的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点作轴于，线段的中点为．直线与直线交于点，为线段的中点，设为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．

4.已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．
5.已知椭圆的焦距和长半轴长都为．过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点．
（ = 1 \* ROMAN I）求椭圆的方程；
（ = 2 \* ROMAN II）设点是椭圆的左顶点，直线分别与直线相交于点.
求证：以为直径的圆恒过点.
6.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，，求的大小．
7. 已知椭圆E：经过点,离心率为，O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)设A,B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点 (不在坐标轴上),直线CD
交x 轴于点P,Q 为直线AD 上一点,且,求证C,B,D三点共线
8. 已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，点，求证：点不在以为直径的圆上．
9. 已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；
（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由．