长沙四大名校集团七年级数学期中复习一元一次方程——新定义

新定义——“某”方程

一．填空题（共2小题）

1．我们规定：如果关于的一元一次方程，为常数，且的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．

（1）若关于的一元一次方程是“和解方程”，则的值为 　　．

（2）若关于的一元一次方程是“和解方程”，则方程的解为 　　．

2．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：关于的一元一次方程是妙解方程，则　　．

二．解答题（共11小题）

3．已知关于的一元一次方程（其中，、为常数），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程的解为，恰好为，则方程为“恰解方程”．

（1）已知关于的一元一次方程是“恰解方程”，则的值为 　　；

（2）已知关于的一元一次方程是“恰解方程”，且解为．求，的值；

（3）已知关于的一元一次方程是“恰解方程”．求代数式的值．

4．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题：

（1）方程是妙解方程吗？试说明理由．

（2）已知关于的一元一次方程是妙解方程．求的值．

（3）已知关于的一元一次方程是妙解方程，并且它的解是．求代数式的值．

5．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”．

（1）试判断方程是不是“和谐方程”；

（2）若，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由．

（3）关于的一元一次方程和、为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为和，请通过计算比较和的大小．

6．若关于的方程的解与关于的方程的解满足为正数），则称方程与方程是“差方程”．例如：方程的解是，方程的解是，，方程与方程是“差2方程”．

（1）请判断方程与方程是不是“差3方程”，并说明理由；

（2）若无论取任何有理数，关于的方程，，为常数）与关于的方程都是“差1方程”，求的值．

7．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“德强方程”．例如：的解为，而，则该方程就是“德强方程”．请根据上述规定解答下列问题：

（1）若关于的一元一次方程是“德强方程”，则　　．

（2）若关于的一元一次方程是“德强方程”，且它的解为，求、的值．

（3）若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“德强方程”，求代数式的值．

8．若关于的一元一次方程的解恰好为即，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．

（1）①，②；③三个方程中，为“友好方程”的是　　（填写序号）

（2）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值；

（3）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．

9．小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：

的解为，而；

的解为，而；

于是，小东将这种类型的方程作如下定义：若一个关于的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：

（1）方程是“奇异方程”吗？如果是，请说明理由；如果不是，也请说明理由．

（2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；

（3）若关于的方程为奇异方程，解关于的方程：．

10．已知是关于的方程的解，是关于的方程的解，若，是满足，则称方程与方程互为“阳光方程”；例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为阳光方程．

（1）请直接判断方程与方程是否互为阳光方程；

（2）请判断关于的方程与关于的方程是否互为阳光方程，并说明理由；

（3）若关于的方程与关于的方程互为阳光方程，请求出的最大值和最小值．

11．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”．

（1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 　　．

（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．

12．定义若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．

运用

（1）方程　　（回答“是”或“不是” “和解方程”；

（2）若，有符合要求的“和解方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由；

（3）关于的一元一次方程和、为常数）均为“和解方程”，且它们的解分别为和，请通过计算比较和的大小．

13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．

例如：方程的解为，解为，两个方程解之和为1，所以这两个方程为“美好方程”．

（1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”；

（2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；

（3）若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．

新定义——“某”方程

参考答案与试题解析

一．填空题（共2小题）

1．我们规定：如果关于的一元一次方程，为常数，且的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．

（1）若关于的一元一次方程是“和解方程”，则的值为 　　．

（2）若关于的一元一次方程是“和解方程”，则方程的解为 　　．

【解答】解：（1）关于的一元一次方程是“和解方程”，

，

代入原方程得：，

．

（2）关于的一元一次方程是“和解方程“，

，

，

代入原方程得：，

．

故答案为：（1），（2）．

2．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：关于的一元一次方程是妙解方程，则　　．

【解答】解：解关于的一元一次方程，得，

关于的一元一次方程是妙解方程，

，

，

．

故答案为：．

二．解答题（共11小题）

3．已知关于的一元一次方程（其中，、为常数），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程的解为，恰好为，则方程为“恰解方程”．

（1）已知关于的一元一次方程是“恰解方程”，则的值为 　　；

（2）已知关于的一元一次方程是“恰解方程”，且解为．求，的值；

（3）已知关于的一元一次方程是“恰解方程”．求代数式的值．

【解答】解：（1）解方程得：

，

是“恰解方程”，

，

，

解得：，

故答案为：；

（2）是“恰解方程”，

，

，

，

，

，

解得：，

把代入，

解得：；

（3）解方程得：

，

方程是“恰解方程”，

，

，

，

．

4．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题：

（1）方程是妙解方程吗？试说明理由．

（2）已知关于的一元一次方程是妙解方程．求的值．

（3）已知关于的一元一次方程是妙解方程，并且它的解是．求代数式的值．

【解答】解：（1）方程中，一次项系数与常数项的差为：，

方程的解为，

，

方程不是妙解方程；

（2）是妙解方程，

它的解是，

，

解得：；

（3）是妙解方程，

它的解是，

，

解得：，

代入方程得：，得．

．

5．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”．

（1）试判断方程是不是“和谐方程”；

（2）若，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由．

（3）关于的一元一次方程和、为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为和，请通过计算比较和的大小．

【解答】解：（1），

，

又，

方程不是“和谐方程”．

（2）当时，，

，

假设有符合要求的“和谐方程”，则，

，

；

（3）由题可得，，

，

．

6．若关于的方程的解与关于的方程的解满足为正数），则称方程与方程是“差方程”．例如：方程的解是，方程的解是，，方程与方程是“差2方程”．

（1）请判断方程与方程是不是“差3方程”，并说明理由；

（2）若无论取任何有理数，关于的方程，，为常数）与关于的方程都是“差1方程”，求的值．

【解答】解：（1）的解为，

的解为，

，

方程与方程是“差3方程”；

（2）的解为，

关于的方程，，为常数）与关于的方程都是“差1方程”，

，

解得或，

当时，，

，

取任何有理数，

，，

；

当时，，

，

取任何有理数，

，，

；

综上所述：或．

7．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“德强方程”．例如：的解为，而，则该方程就是“德强方程”．请根据上述规定解答下列问题：

（1）若关于的一元一次方程是“德强方程”，则　　．

（2）若关于的一元一次方程是“德强方程”，且它的解为，求、的值．

（3）若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“德强方程”，求代数式的值．

【解答】解：（1）关于的一元一次方程是“德强方程”，

，

解得，

故答案为：；

（2）关于的一元一次方程是“德强方程”，且它的解为，

，

解得，，

答：，；

（3）关于的一元一次方程是“德强方程”，

，

即：，

又关于的一元一次方程是“德强方程”，

，

即：，

，

原式

．

8．若关于的一元一次方程的解恰好为即，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．

（1）①，②；③三个方程中，为“友好方程”的是　②　（填写序号）

（2）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值；

（3）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．

【解答】解：（1）的解是，即方程不是“友好方程”，

的解是，即方程是“友好方程”，

的解是，即方程不是“友好方程”，

故答案为：②；

（2）关于的一元一次方程是“友好方程”，

，

解得：；

（3）关于的一元一次方程是“友好方程”，

，

解得：．

9．小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：

的解为，而；

的解为，而；

于是，小东将这种类型的方程作如下定义：若一个关于的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：

（1）方程是“奇异方程”吗？如果是，请说明理由；如果不是，也请说明理由．

（2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；

（3）若关于的方程为奇异方程，解关于的方程：．

【解答】解：（1）方程是“奇异方程”．理由：

方程的解为：，

，

方程是“奇异方程”．

（2）若，没有符合要求的“奇异方程”．理由：

假设若，有符合要求的“奇异方程”，

那么为“奇异方程”，

则方程的根为：．

而方程的根为：．

显然假设不成立，

若，没有符合要求的“奇异方程”．

（3）关于的方程为奇异方程，

方程的根为：．

把代入原方程得：

，

．

，

．

．

．

．

10．已知是关于的方程的解，是关于的方程的解，若，是满足，则称方程与方程互为“阳光方程”；例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为阳光方程．

（1）请直接判断方程与方程是否互为阳光方程；

（2）请判断关于的方程与关于的方程是否互为阳光方程，并说明理由；

（3）若关于的方程与关于的方程互为阳光方程，请求出的最大值和最小值．

【解答】解：（1）解方程得，，

解方程得，，

，

方程与方程不是阳光方程；

（2）方程与关于的方程是互为阳光方程，理由如下：

解方程得，，

解方程得，，

，

方程与关于的方程是互为阳光方程；

（3）关于的方程的解为，关于的方程程的解为，

关于的方程与关于的方程程的解接近，

，解得或，即，

的最大值是0，最小值．

11．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”．

（1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 　②　．

（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．

【解答】解：（1）方程①的解为：，方程②的解为：，

方程的解为：．

，．

方程①不是方程的友好方程，方程②是方程的友好方程．

故答案为：②．

（2）．

，

或．

或．

方程，

．

．

两个方程是友好方程，

或．

或．

12．定义若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．

运用

（1）方程　不是　（回答“是”或“不是” “和解方程”；

（2）若，有符合要求的“和解方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由；

（3）关于的一元一次方程和、为常数）均为“和解方程”，且它们的解分别为和，请通过计算比较和的大小．

【解答】解：（1）由得，

而，

，

不是“和解方程”，

故答案为：不是．

（2），则方程为，

解得，

若原方程是“和解方程”，

则，

，

；

（3）一元一次方程和、为常数）均为“和解方程”，且它们的解分别为和，

，，

，

，

，

．

13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．

例如：方程的解为，解为，两个方程解之和为1，所以这两个方程为“美好方程”．

（1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”；

（2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；

（3）若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．

【解答】解：（1）方程的解为，方程的解为，

，

方程与方程是互为“美好方程”；

（2）关于的方程的解为，方程的解为，又关于的方程与方程是“美好方程”，

，

解得；

（3）方程的解为，关于的方程的解为，

又关于方程与是“美好方程”，

，

解得，

关于的方程可变为，

解得，

即关于的方程的解为．

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