湖南省2022-2023学年高三数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

2023年湖南省高三联考试题

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ），

A． B． C． D．

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

3．在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（    ）

A．3 B． C． D．4

4．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）．24h降雨量的等级划分如下表：

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm，如图所示，则这24h降雨量的等级是（    ）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

5．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．在锐角△ABC中，，，则BC的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．正方体的棱长为1，点P在三棱锥的表面上运动，且，则点P轨迹的长度是（    ）

A． B． C． D．

8．设定义在R上的函数满足，且当时，，其中为函数的导数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数的最小正周期为

C．函数的对称轴方程为

D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

10．设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．的最大值为  D．

11．过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为，，的平分线与l相交于点P，O为坐标原点，则（    ）

A．  B．三点A、O、共线

C．原点O可能是△PAB的重心 D．△OBF不可能是正三角形．

12．已知函数，其中a，b，，，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．在R上单调递减 D．最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的展开式中，二项式系数之和为32，则展开式中项的系数为________．

14．已知某食品每袋的质量，现随机抽取10000袋这种食品，则质量在区间的食品约________袋（质量单位：g）．

附：，则，，．

15．已知过原点的直线l与双曲线C：的左、右两支分别交于A，B两点，F是C的右焦点，且．若满足的点P也在双曲线C上，则C的离心率为________．

16．已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知正项数列的前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，证明：．

18．（12分）

作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．

（1）从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；

（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．

19．（12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，侧面PAB的面积为．

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）点M在棱PC上，当三棱锥的体积为时，求直线AM与平面PAB所成的角的正弦值．

20．（12分）

如图，在平面四边形ABCD中，，，．

（1）当四边形ABCD内接于圆O时，求角C；

（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长．

21．（12分）

已知椭圆E：的离心率为，A，B是它的左、右顶点，过点的动直线l（不与x轴重合）与E相交于M，N两点，△MAB的最大面积为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设是直线AM与直线BN的交点．

（i）证明m为定值；

（ii）试堔究：点B是否一定在以MN为直径的圆内？证明你的结论．

22．（12分）

已知函数，．

（1）比较，的大小，并说明理由；

（2）已知函数的两个零点为，，证明：．

2023年湖南省高三联考试题参考答案

数学

1．【答案】D

【解析】，，

则．

故选D

2．【答案】C

【解析】．

故选C

3．【答案】A

【解析】以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，且边长为3，

所以，，，，所以，，

所以．

故选A

4．【答案】B

【解析】因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，

所以圆锥内积水部分水面的半径为，

故积水量，

所以此次降雨在平地上积水的原度，

因为，所以这一天的雨水属于中雨．

故选B

5．【答案】A

【解析】从8个点中任取3个点，共有种情况，

这三个点恰好位于同一个奥林匹克环上有种情况，则所求的概率．

故选A．

6．【答案】B

【解析】由正弦定理得，

所以，所以．

故选B

7．【答案】A

【解析】由题设知点P在以为球心，半径的球面上，

所以点P的轨迹就是该球与三棱锥的表面的交线．

由正方体性质易知点到平面的距离，

所以球在平面上的截面圆的半径，

截面圆的圆心是正中心，正的边长为，其内切圆的半径．

因此，点P在面内的轨迹是圆在内的弧长，

如图所示．，所以，

从而，故点P在此面内的轨迹长度为．

因为平面ABCD，所以球在平面ABCD上的截面圆心为A，

其半径，又，所以点P在平面BCD内的轨迹是一段弧，

如图所示，，所以，从而，所以．

由于对称性，点P在平面和平面内的轨迹长度都是，

故点P在三棱锥的表面上的轨迹的长度是．

故选A

8．【答案】D

【解析】构造函数，因为，

所以，所以为奇函数．

当时，，在上单调递減，所以在R上单调递减．

因为，所以，

即，所以，即．

故选D

9．【答案】ABD

【解析】

，所以A正确；

对于B，函数的最小正周期为，所以B正确；

对于C，由，得，，

所以函数的对称轴方程为，，所以C错误；

对于D，的图象向右平移，得，

所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，所以D正确．

故选ABD

10．【答案】AC

【解析】若，因为，所以，，则与矛盾，

若，因为，所以，，则，与矛盾，

所以，故A正确；

因为，则，所以，故B错误；

由，故C正确；而，故D错误．

故选AC

11．【答案】ABD

【解析】由抛物线定义知，又l平分，

所以，从而，即，所以A正确；

设，，AB方程为，代入C方程得，

则，，故的坐标是，从而，

所以A、O、三点共线，即B正确；

若原点O是△PAB的重心，则，即，

而，因为，所以，故C错误；

因为，所以△OBF不可能是正三角形，故D正确．

故选ABD

12．【答案】AB

【解析】因为，即，又a，b，，所以，．

由，令，则在R上递减，

且，所以，，故A，B正确；

取，，，则，所以C错误；

令，，，

则，

今，，则，

而，所以，所以D错误．

故选AB

13．【答案】1080

【解析】由题可知，解得，

则的通项为，

令，解得，则系数为．

故答案为1080

14．【答案】8186

【解析】由题意得：，，

则，

故，

则袋装质量在区间的食品约有（袋）．

故答案为8186

15．【答案】

【解析】设左焦点为，，则，连接，，

则，．由易知四边形为矩形．

在中，，即，化简得．

在中，，即，

将代入（*）式得，即．

故答案为

16．【答案】

【解析】由得，即．

令，则在上单调递增，且，

所以对恒成立，即对恒成立．

令，则，所以当时，；

当时，，故在上的极大值是，

即最大值是，所以，即实数m的最小值是．

17．【解析】（1）依题意可得，当时，，，则；

当时，，，两式相减，整理可得，

又为正项数列，故可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以．

（2）证明：由（1）可知，所以，

，所以成立．

18．【解析】（1）设“小明与第i（，2，3）类棋手相遇”，

根据题意，，．

记“明获胜”，则有，，，

由全概率公式，小明在比赛中获胜的概率为

，

所以小明获胜的概率为0.375．

（2）小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为

，

即小明获胜，对手为一类棋手的概率为0.4．

19．【解析】（1）由侧面PAD的面积为，得，

又，，所以，从而，

即，又，故平面PAD，

而平面ABCD，所以平面平面ABCD．

（2）取AD的中点O，连接OP，因为，所以，由（1），平面平面ABCD，

而平面PAD，平面平面，所以平面ABCD．

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

因为，所以，，

设，则．

设，即，

所以，从而，，故，

于是，又，，

设是平面PAB的一个法向量，

则即取，得，

设直线AM与平面PAB所成的角为，则，

即直线AM与平面PAB所成的角的正弦值为．

20．【解析】（1）连接BD，由余弦定理可得：

，

，

所以．

又四边形ABCD内接于圆O，所以，

所以，化简可得，又，所以．

（2）设四边形ABCD的面积为S，则，

又，

所以即

平方后相加得，即，

又，所以时，有最大值，即S有最大值．

此时，，代入得．又，所以．

在△BCD中，可得：，

即．

21．【解析】（1）设椭圆E的焦距为2c，由题设知，

且当点M在椭圆E的短轴端点处时△MAB的面积最大，

所以，即．又，从而解得，，

故椭圆E的方程为．

（2）由（1）知，，，由题意可设直线l的方程为，

因为点在椭圆E内，直线l与E总相交，由得，

设，，则，，

（i）由P，A，M共线，得，①

由P，B，N共线，得，②

则由①÷②得，③

又，所以，④

将④代入③，得

所以．

（ii）点B一定在以MN为直径的圆内，证明如下：

点B在以线段MN为直径的圆内为钝角

，⑤

因为，，所以，

由①、④，有，故，

而2，从而，即⑤成立，所以点B一定在以MN为直径的圆内．

22．【解析】（1）令，

则，所以，当，；

当时，，

令，在上单调递减，

所以，，即，所以在上单调递减，

所以，，即当时，；

同理可得，当时，．

综上：当时，；当时，；当时，．

（2）先证明：．不妨令．

因为定义域为，，

令得．所以，当，，单调递减，

当时，，单调递增，从而．

记的两个零点分别为，，且，

因为图象是关于直线对称的抛物线，所以，

又由（1）可知，，所以．下面再证．

由于，故有，，因此，

而，所以，故有．

构造函数，，．

令，，在内单调递增，在上单调递减，

从而有．综上可知．