数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系5 三角函数的应用同步测试题

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册1.5 三角函数的应用 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

1．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡度  i1 =1：2，背水坡CD的坡度i2=1：1，若坡面CD的长度为 米，则斜坡AB的长度为（　　）

A． B． C． D．24

2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（　　）米．

A． B． C． D．

3．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　）

A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．

4．已知一道斜坡的坡比为1： ，坡长为24米，那么坡高为（　　）米. 

A． B．12 C． D．6

5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高 ，则坡面AB的长度是（　　）m 

A．8 B．16 C． D．

6．如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（　　）

A．100米 B．50米 C．米 D．50米

7．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A观察到瞰胜楼楼底点C的仰角为12°，楼顶点D的仰角为13°，测得斜坡BC的坡面距离BC 510米，斜坡BC的坡度 .则瞰胜楼的高度CD是（　　）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23） 

A．30 B．32 C．34 D．36

8．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　） 

A． 海里/时 B．30海里/时

C． 海里/时 D． 海里/时

9．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（　　） 

A． 米 B．90 米 C．120 米 D．225米

10．如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数值： ， ） 

A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米

二、填空题（每题3分，共15分）

11．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为，∠B为，边AB的长为2m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　     　m.（参考数据：，，）.

12．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为　     　米.

13．如图，已知斜坡AC的坡度i＝1：2，小明沿斜坡AC从点A行进10m至点B，在这个过程中小明升高 　     　m.

14．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度 　             　.（结果保留根号）

15．某通信公司准备逐步在山上建设5G基站.如图，某处斜坡的坡角的正切值为，通讯塔垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段长26米则通讯塔的高度约为　     　米.（参考数据：，，）

三、解答题（共8题，共55分）

16．在一次户外综合实践活动中，九年级数学兴趣小组用无人机航拍测量公园内一条笔直的骑行步道AB的长度.由于无人机控制距离有限，为了安全，不能直接测量，他们采用如下方法：如图，在起点A的正上方点C处测得终点B的俯角α＝17.1°；接着无人机往终点B方向水平飞行0.9km到达点D处， 此时测得终点B的俯角β＝45°.求骑行步道AB的长度.（结果精确到0.1km，参考数据：sin17.1°≈0.29，cos17.1°≈0.96，tan17.1°≈0.31，）

17．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

18．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部 的距离 为10m，此时测得对树的顶端 的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点 距地面1.6m，求树木 的高度（精确到0.1m）．（参考数据： ，  ， ， ， ， ）． 

19．某校数学课外学习小组准备测量一栋大楼AB的高度，如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是30米，斜坡DE坡度为1∶2，斜坡DE底部E与大楼底端B的距离BE为25米，与地面BE垂直的路灯CD的高度是3.2米，从楼顶A测得路灯CD顶端C处的俯角是20°.试求大楼AB的高度. ，结果精确到1米.）

20．如图1为医院里常见的“测温门”，图2为该“测温门”截面示意图．小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．经测量该测温门的高度AD为2.5米，小聪的有效测温区间MN的长度是1米，根据以上数据，求小聪的身高CN为多少？（注：额头到地面的距离以身高计）（参考数据： ，结果精确到0.01米） 

21．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，如图，在A处测得航标C在北偏东60°方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（供考生参考的数据： ≈1.732）

22．如图，一架无人机沿水平方向由 处飞行6千米到达 处，在航线 下方有两个山头 ．无人机在 处，测得 的俯角分别为 和 ．无人机在 处，测得 的俯角为 ，此时山头 恰好在无人机的正下方．求山头 之间的距离． 

23．如图，这是某水库大坝截面示意图，张强在水库大坝顶CF上的瞭望台D处，测得水面上的小船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CF平行于水面AB，瞭望台DE垂直于坝顶CF，迎水坡BC的坡度i＝4：3，坡长BC＝10米，求小船A距坡底B处的长．（结果保留0.1米）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°＝0.77，tan40°≈0.84）

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】A

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】D

8．【答案】D

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】0.7

12．【答案】750

13．【答案】

14．【答案】（6+4 ）米

15．【答案】

16．【答案】解：过点B作BE⊥CD于点E.设BE ＝xkm.

在Rt△BED中，BE＝x，∠BDE＝45°，

∴ DE＝BE＝x km.

在Rt△BEC中，BE＝x，∠BCE＝17.1°，

∵ tan∠BCE＝，

∴ CE＝，

∴，      

解得：x ≈ 0.40，

∴ AB＝CE ≈ 0.9＋0.40 ≈ 1.3（km）.

17．【答案】解：∵CM=3，OC=5，

∴OM==4，

∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD，

∴△COM∽△BOD，

∴，即，

∴，

∴tan∠AOD=tan70°=，

即，

解得：AB=6，

∴汽车从A处前行6米才能发现C处的儿童.

18．【答案】解：如图，分别延长DC、AE、BF，DC与AE的延长线相交于点H，BF与DC相交于点G，则

由图可知，四边形ABGH是矩形，

∴ ， ，

在直角三角形BCG中，∠GBC=20°，BC=10，

∴ ，

，

∴ ， ；

设 ，则在直角三角形ADH中，有

，

解得： ；

∴树木 的高度为11.6米．

19．【答案】解：如图所示，过点C作 交AB于点F，过点D作 交BE的延长线于点G，

∵DE的长是30米，斜坡DE坡度为1∶2，

∴设 ，则

∴在 中，

解得 （不合题意，舍去）

则

∵

∴四边形FBGC是矩形

∴ ，

又在 中， 俯角=

∴

∴大楼AB= 米

答：大楼AB的高度约为37米

20．【答案】解：如图，延长BC与AD交于点E，

∵∠ABC=30°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴AC=BC=MN=1，
∴AE=AC·  =  ，
∴CN=DE=AD-AE=2.5-  ≈1.63，
∴小聪的身高CN为1.63米.

21．【答案】解：过C作CD⊥AB于D，设BD＝x，

∵CD⊥AB且∠CBD＝45°∴BD＝CD＝x

在Rt△ACD中，tan30°＝

∴

解得x＝50（ +1）≈137

∵137＞120，

故这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．

22．【答案】解：在 中， 

．

，

．

．

过点 作 于点 ．

，

．

．

在 中，

．

答：山头 之间的距离为 千米．

23．【答案】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作 于点Q，

∵ ， ，∴ ．

∴四边形CEPQ为矩形．

∴ ，

∵ ，

∴设 ， ．

在 中，由勾股定理，得 ，即 ．

解得 或 （舍）．

∴ ， ．

∴ ．

在 中，∵

∴ ．

∴ （米）．

答：AB的长约为5.1米．