湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一数学下学期第一次适应性试卷（Word版附答案）

长郡中学2022～2023学年度高一第二学期第一次适应性检测数学

时量：120分钟 满分：150分

得分__________

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．已知，i为虚数单位，则（    ）．

A．3 B．4 C． D．10

2．的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小为（    ）．

A． B． C． D．

3．已知平面向量，，若，则（    ）．

A． B． C．2 D．

4．函数的图象大致为（    ）．

A．B．C．D．

5．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ）．

A．8 B．17 C．20 D．25

6．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（    ）．

A． B． C． D．

7．已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个x值的区间可以是（    ）．

A． B． C．    D．

8．已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ）．

A．的图象关于直线对称     B．的图象关于点对称

C．      D．的一个周期为8

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．下列结论正确的是（    ）．

A．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底

C．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为

D．已知，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则

10．计算下列各式，结果为的是（    ）．

A． B．

C．  D．

11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）．

A．若，则

B．若，则是钝角三角形

C．若，则为等腰三角形

D．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个

12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes-benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，其定义为：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则，设O是是锐角的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）．

A．若，则

B．若，，，则

C．若O为的内心，，则

D．若O为的垂心，，则

答题卡

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．设函数，则__________．

14．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是__________．

15．已知命题，是假命题，则实数a的取值范围是__________．

16．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是__________．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知，，．

（1）求与的夹角；

（2）若，且，求实数t的值．

18．（12分）已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．

19．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角B；

（2）若D为的中点，且，，求的面积．

20．（12分）噪声污染已经成为严重影响人们身体健康和生活质量的问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式（a、b为非零常数）给出，其中为声音能量．

（1）当声音强度，，满足时，求对应的声音能量，，满足的等量关系式；

（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝至120分贝的空间内约一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．

21．（12分）如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．

（1）当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；

（2）当P在线段上移动时，求的最小值．

22．（12分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有非零向量的“相伴函数”构成的集合为S．

（1）设，请问函数是否存在相伴向量？若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由；

（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．

长郡中学2022～2023学年度高一第二学期第一次适应性检测

数学参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．C   【解析】因为，所以．故选C．

2．B   【解析】由余弦定理得，

因为，所以．故选B．

3．A   【解析】∵，∴，显然，

∴．故选A．

4．B

【解析】函数的定义域为R，，

即函数是奇函数，排除CD；

当时，，

即当时，函数的图象在x轴的上方，显然A不满足，B满足，故选B．

5．D

【解析】∵，，

∴，

当且仅当，即，时等号成立，故选D．

6．C

【解析】依题意，设半球的半径为R，连接，交于点O，连接SO，如图所示：

则有，易得，

所以正四棱锥的体积为：，解得，

所以半球的体积为：．故选C．

7．B

【解析】因为是偶函数，故，

由，得，

由函数在上单调递增，得，

则，即，

所以，，即，．

当时，，当时，，

当时，，当时，，

所以ACD不合题意，选项B符合．故选B．

8．C

【解析】由题意知是奇函数，即，

∴，即，

即，故的图象关于点对称，B结论正确；

又是偶函数，故，

∴，即，

故的图象关于直线对称，A结论正确；

由以上可知，即，

所以，则，

故的一个周期为8，D结论正确；

由于，令，可得，∴，

而的图象关于直线对称，故，所以C结论错误，故选C．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．BC

【解析】对于A，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，A错误；

对于B，∵‘为一组基底，∴‘不共线，

∴，也不共线，∴，也可以作为一组基底，B正确；

对于C选项，，两边平方得，，

所以在方向上的投影向量为，C选项正确；

对于D选项，复数为纯虚数，

则，解得，D选项错误，故选BC．

10．AD

【解析】对于选项A，由辅助角公式得．故选项A正确；

对于选项B，，故选项B错误；

对于选项C，，故选项C错误；

对于选项D，，故选项D正确，故选AD．

11．ABD

【解析】对A选项，根据结论大角对大边，则有，

又因为正弦定理，所以，故A正确；

对B选项，由可得，

∴，为钝角三角形，故B正确；

对C选项，由可得，∴，

∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；

对D选项，由，

则，解得，

故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确，故选ABD．

12．ACD

【解析】对A，由奔驰定理可得，，

又、、不共线，故，A对；

对B，，

由得，故，B错；

对C，若O为的内心，，则，

又（r为内切圆半径），

则三边满足勾股定理，故，C对；

对D，若O为的垂心，则，

，

又，

同理，，

∴，

∵，则，

且

，

令，，，且，

因为，

所以，．

如图，D，E，F分别为，，边的垂足，

，，，

所以，D对，故选ACD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．   【解析】由已知可得，则．

14．

【解析】由直观图可知，在直观图中，正方形的对角线长为，

由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图形如图所示，

所以原图图形为平行四边形，底面边长为1，位于y轴的对角线长为，

所以原来图形的面积为．

15．

【解析】命题，是假命题，

即命题，是真命题，

即在上恒成立，令，

因为，所以当时函数取最小值，即，

所以．

16．

【解析】因为，则，，

又，

故由正弦定理可得：

，

又为锐角三角形，

故可得，，，

解得，则，

故，

即．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．【解析】（1）因为，

所以，即，所以，

所以，

又，所以．（5分）

（2）因为，且，

所以．

即，解得．（10分）

18．【解析】（1）

，

故．（5分）

（2）因为，向左平移个单位长度，

得到，

故要使，

需满足，，

解得，，

故的解集为，．（12分）

19．【解析】（1）因为，所以．

即，所以，

又，所以．（5分）

（2）由，得，则由平行四边形法则可得，

则，即①，

又，即②，

由①②可得．（10分）

则．（12分）

20．【解析】（1）∵，

∴，

∴，所以．（5分）

（2）由题意得，（7分）

即，解得（9分）

所以，

由，得，得．

所以当声音能量在时，人会暂时性失聪．（12分）

21．【解析】（1）由已知可得，

由余弦定理有，得到．

在中，有，（3分）

．（6分）

（2）将绕旋转到与同一平面（如图所示），

连接交于点，此时取得最小值，最小值即长．（8分）

在中，，，，

故，故，即，

又易知，故，

由余弦定理得，所以，

（或者在中由勾股定理得）

故的最小值为．（12分）

22．【解析】（1）因为

，（3分）

所以，函数存在相伴向量，，

所以，与共线的单位向量为

或．（5分）

（2）的“相伴函数”，，

因为在处取得最大值，

所以，当，，

即，时，有最大值，

所以，，

所以，

因为，，

所以，（8分）

所以，

令，则，

因为，在上均为单调递减函数，

所以在上单调递减，

所以，（10分）

所以，，

所以，的取值范围为．（12分）