初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质精练

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册2.2 二次函数的图像与性质 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

1．如图是二次函数图象的y=ax2+bx+c一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1。则以下结论错误的是（　　）

A．b2>4ac B．2a+b=0 C．a+b+c=0 D．5a<b

2．二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④无论m为何值时，总有；⑤.其中正确的结论序号为（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④

3．小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（　　）

A．无论x取何实数，y的值都小于0

B．该抛物线的顶点始终在直线上

C．当时，y随x的增大而增大，则

D．该抛物线上有两点，，若，，则

4．如图所示的是二次函数y= ax2+bx +c图像的一部分，下列结论中：其中正确结论的序号为(　　)

①abc>0：②a-b+c<o；③ax2+bx +c+1=0有两个相等的实数根；④-4a<b<-2a。其中正确结论的序号为

A．①② B．①③ C．②③ D．①④

5．函数 的图象上有三个点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为(　　) 

A． B．

C． D． ， ， 的大小不确定

6．函数，当与时，函数值相等，则当时，函数值等于（　　）

A．－3 B． C． D．3

7．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）

A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3

C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3

8．已知点在二次函数的图象上，且C为抛物线的顶点．若，则m的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

9．在函数y＝2（x+1）2﹣的图象上有三点A（1，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＝y3＞y2 D．y2＞y1＝y3

10．如图，二次函数 的图象与 轴负半轴交于 ，对称轴为直线 ．有以下结论： 

① ；② ；③若点 ， ， 均在函数图象上，则 ；④若方程 的两根为 ， 且 ，则 ；⑤点 ， 是抛物线与 轴的两个交点，若在 轴下方的抛物线上存在一点 ，使得 ，则 的范围为 ．其中结论正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（每题3分，共15分）

11．已知抛物线经过点和，则的值是　     　.

12．已知y是x的二次函数， y与x的部分对应值如下表：

该二次函数图象向左平移　     　个单位，图象经过原点.

13．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为　     　. 

14．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝ （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为　     　. 

15．已知点 和点 都在二次函数 的图像上，那么 　     　0．（结果用 表示） 

三、解答题

16．已知二次函数y＝（x﹣1）2．

（1）通过列表，描点（5个点），在下图画出该抛物线的图象；  

（2）在（1）条件下，写出经过怎样的变化可得到函数y＝（x+1）2﹣3的图象．  

17．已知抛物线L：y＝(m－2)x2＋x－2m(m是常数且m≠2)．

（1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围；

（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．

18．已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大. 

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴.

19．如图，将抛物线P1：y=x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y=x2﹣5x+n，两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B．

（1）求抛物线P1的对称轴和点A的横坐标．

（2）求线段AB和CD的长度．

20．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．

（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；

（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　     　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　     　；

（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：

表中m、n、p的大小关系为　        　（用“＜”连接）．

21．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界.例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2＋2是有上界函数，其上确界是2

（1）函数①y＝x2＋2x＋1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为　     　（只填序号即可），其上确界为　     　；

（2）如果函数y＝﹣x＋2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a＋1，求a的取值范围；

（3）如果函数y＝x2﹣2ax＋2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】A

10．【答案】B

11．【答案】3

12．【答案】3

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】＞

16．【答案】（1）解：列表如下： 

函数图象如图所示：

（2）解：将y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，向下平移3个单位可得到y＝（x+1）2﹣3．  

17．【答案】（1）解：∵抛物线L有最高点，

∴m-2<0，

∴m<2

（2）解：∵抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，

∴m-2=-1，

∴m=1．

18．【答案】（1）解：由y＝（k＋2） 是二次函数，且当x＞0时， 

y随x的增大而增大，得

解得k＝2；

（2）解：y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.

19．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，

轴，

又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1，

点A的横坐标为；

故抛物线P1的对称轴为直线和点A的横坐标为．

（2）解：抛物线的对称轴为直线，

轴，

点B与点E关于对称轴对称，

点B的横坐标为4，

；

点E是抛物线与抛物线的交点，

，

，

，

令，

则，

；

故线段AB和CD的长度均为7．

20．【答案】（1）解：二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；

（2）±2；﹣2

（3）p＜m＜n

21．【答案】（1）②；1

（2）解：∵y=-x+2，y随x值的增大而减小，

∴当a≤x≤b时，-b+2≤y≤-a+2，

∵上确界是b，

∴-a+2=b，

∵函数的最小值不超过2a+1，

∴-b+2≤2a+1，

∴a≥-1，

∵b＞a，

∴-a+2＞a，

∴a＜1，

∴a的取值范围为：-1≤a＜1

（3）解：y=x2-2ax+2的对称轴为直线x=a，

当a≤1时，y的最大值为25-10a+2=27-10a，

∵3为上确界，

∴27-10a=3，

∴a=2.4（舍）；

当a≥5时，y的最大值为1-2a+2=3-2a，

∵3为上确界，

∴3-2a=3，

∴a=0（舍）；

当1＜a≤3时，y的最大值为25-10a+2=27-10a，

∵3为上确界，

∴27-10a=3，

∴a=2.4；

当3＜a＜5时，y的最大值为1-2a+2=3-2a，

∵3为上确界，

∴3-2a=3，

∴a=0，

综上所述：a的值为2.4.