初中数学北师大版九年级下册3 确定二次函数的表达式同步练习题

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册2.3确定二次函数的表达式 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

1．若二次函数y＝ax2＋2ax(a≠0)的图象过点P(1，4)，则该图象必过点(　　) 

A．(－3，4) B．(－1，4) C．(0，3) D．(2，4)

2．已知二次函数 （其中m＞0），下列说法正确的是（　　） 

A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大

B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小

C．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则

D．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则

3．如图，已知点A（ ，2）， B(0，1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为(　　)

A．

B．

C．

D．

4．若二次函数 过P(1,4)，则这个函数必过点（　　）

A．(-3,4) B．(-1,4) C．(0,3) D．(2,4)

5．用配方法将y＝ x2+x﹣1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　）  

A．y＝ （x+1）2﹣1 B．y＝ （x﹣1）2﹣1

C．y＝ （x+1）2﹣3 D．y＝ （x+1）2﹣

6．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）

A．y= （x+3）2 B．y= （x+3）2

C．y= （x﹣3）2 D．y= （x﹣3）2

7．已知点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（　　） 

A．﹣1 B．1 C．±1 D．

8．若抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）且经过点（1，﹣8），则该抛物线的表达式是（　　） 

A．y=﹣9（x﹣2）2+1 B．y=﹣7（x﹣2）2﹣1

C．y=﹣（x+2）2+1 D．y=﹣ （x+2）2﹣1

9．某二次函数，当自变量x满足0≤x≤4时，对应的函数值y满足0≤y≤2，则这个函数不可能是（　　） 

A．y=  B．y=x2﹣4x+2

C．y= +2 D．y=﹣ +x+1

10．通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x﹣h）2+k的形式，此二次函数可变形为（　　） 

A．y=a（x+ ）2+  B．y=a（x﹣ ）2+

C．y=a（x+ ）2+  D．y=a（x﹣ ）2+

二、填空题（每题3分，共15分）

11．如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是　     　.

12．如果将抛物线 向上平移，使它经过点 ，那么所得新抛物线的表达式是　        　．  

13．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．

甲：函数图象的顶点在x轴上；

乙：当x<1时，y随x的增大而减小；

丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同

已知这三位同学的描述都符合题意，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式　         　．

14．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　           　． 

15．如图，正方形OABC和正方形CDEF在平面直角坐标系中，点O，C，F在y轴上，点O为坐标原点，点M为OC的中点，抛物线y=ax2+b经过M，B，E三点，则 的值为　     　．

三、解答题（共8题，共55分）

16．如图，已知直钱与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A，E两点，与x轴交于B，C两点，点B的坐标为，求该抛物线对应的函数表达式.

17． 已知二次函数的图象经过，两点，求b，c的值.

18．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）。点P是直线BC上方的抛物线上一动点

（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；  

（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POPC.若四边形POP'C为菱形，请求出此时点P的坐标；  

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.  

19．已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式． 

20．抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．求这条抛物线的解析式． 

21．二次函数y= （x+h）2的图象如图所示，已知OA=OC，试求该抛物线的解析式． 

22．已知二次函数图象顶点坐标（﹣3， ）且图象过点（2， ），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标． 

23．已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．

（1）求二次函数的关系式；

（2）写出它的对称轴和顶点坐标；

（3）请说明x在什么范围内取值时，函数值y＜0？

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】A

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】A

11．【答案】-1

12．【答案】

13．【答案】

14．【答案】y=x2﹣4x+3

15．【答案】1+

16．【答案】解：令，，∴，

∵抛物线过，，

∴，

∴ ，

∴该抛物线对应的函数表达式为：.

17．【答案】解：把A(0，3) ，B(-4，-) 分别代入，

得，

解得.

故，c=3.

18．【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入y=a2+2x+c，得

解得

∴该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3

（2）解：若四边形POPC是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；如图，连接PP，则PELCO，垂足为E， 

∵C（0，3），

∴E（0， ），

∴.点P的纵坐标等于 。

∴-x2+2x+3=

解得x1= ，x1= （不合题意，舍去），

∴点P的坐标为（ ， ）

（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点2，与OB交于点F， 

设P（m，-m2+2m+3），设直线BC的表达式为y=kx+3，

则3k+3=0，解得k=-1.

∴直线BC的表达式为y=-x+3.

∴Q点的坐标为（m，-m+3），

∴QP=-m2+3m.

当-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴AO=1，AB=4，

∴S四边形ABPC=S△ABC+S△CPQ+S△BPQ

=- AB·OC+ QP·OF+ QP·FB

= ×4×3+ （-m2+3m）×3.

当m= 时，四边形ABPC的面积最大。

此时P点的坐标为（ ， ），四边形ABPC的面积的最大值为

19．【答案】解：由图象可知：抛物线的对称轴为x=1， 

设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+k

∵抛物线经过点（﹣1，0）和（0，﹣3）

∴ 解得 ，

∴抛物线的表达式为：y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3

20．【答案】解：∵直线y2=﹣2x+m经过点B（2，﹣3）， 

∴﹣3=﹣2×2+m．

∴m=1．

∵直线y2=﹣2x+m经过点A（﹣2，n），

∴n=4+1=5；

∵抛物线y1=x2+bx+c过点A和点B，

∴ ，

∴ ．

∴这条抛物线的解析式为y1=x2﹣2x﹣3

21．【答案】解：∵y= （x+h）2， 

∴当x=0时，y= h2，则C（0， h2），

当y=0时， （x+h）2=0，解得x=﹣h，则A（﹣h，0），

∵OA=OC，

∴﹣h= h2，解得h=0（舍去）或h=﹣2，

∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2

22．【答案】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k， 

把h=﹣3，k= ，和点（2， ）代入y=a（x﹣h）2+k，得a（2+3）2+ = ，

解得a= ，

所以二次函数的解析式为y= （x+3）2+ ，

当x=0时，y= ×9+ = ，

所以函数图象与y轴的交点坐标（0， ）

23．【答案】解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y=ax2+bx得

，

解得．

因此二次函数的关系式y=2x2﹣4x；

（2）∵y=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，

∴二次函数y=2x2﹣4x的对称轴是直线x=1，顶点坐标（1，﹣2）；

（3）令y=0，则2x2﹣4x=0，

解得x1=0，x2=2，

所以当0＜x＜2时，y＜0．