江苏省泰州市姜堰区四校联考2022-2023学年下学期3月考九年级数学试卷

2022-2023学年江苏泰州姜堰区四校联考九下月考数学试卷

一、选择题(共6小题，每小题3分)

1.下列实数中，比3大的数是 (    )

5                  1                    0                

2.2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为 (    )

3.下列运算正确的是 (     )

4.在平面直角坐标系中，点所在象限是 (    )

第一象限           第二象限              第三象限           第四象限

5.已知点、、在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是(   )

6.如图，矩形的边在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图像上，连接并延长交轴于点，且，则的值为 (    )

（第6题）

3                4              5              6

二、填空题（共10小题，每小题3分）

7.实数27的立方根是__________.

8.若在实数范围内有意义，则的取值范围是____________.

9.分解因式：_____________.

10.请填写一个常数，使得关于的方程_______有两个相等的实数根．

11.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几

何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊

价各是多少？若设人数为，则可列方程为__________________________.

12.已知，则_________.

13.把二次函数的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件：_______________.

14.根据以下作图过程解决问题：

第一步：在数轴上，点表示数0，点表示数，点表示数，以为直径作半圆；

第二步：以点为圆心，1为半径作弧交半圆于点(如图)；

第三步：以点为圆心，为半径作弧交数轴的正半轴于点．

则点在数轴上表示的数为_________． 

（第14题）

15.若一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______________．

（第15题）

16.如图，已知二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点为该图像在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为______________.

（第16题）

三、解答题（共10小题）

17.（10分）（1）计算：；      （2）计算：

18.（10分）（1）解方程：；          （2）解方程组：

19．（8分）先化简，再求值：，其中是方程的根.

20.（10分）已知.

(1)用含的代数式分别表示；

(2)当时，求的取值范围.

21.（10分）已知关于的一元二次方程．

(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若是原方程的两根，且，求的值．

22．（8分）城市书房为市民带来阅读便利，某市计划投资8万元建设几间城市书房，为了保证质量，实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了一间城市书房，总投资追加了4万元，求原计划每间城市书房的建设费用．

23.（10分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于85元，调研发现在一段时间内，每天的销售量(个)与销售单价(元)满足一次函数关系如图：

 (1)求与之间的函数关系式；

(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

（第23题）

24.（10分）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度．现计划将此余料进行切割；

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，

求此正方形的面积；

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，

求此矩形的周长；

                                                                     （第24题）

25．（12分）如图，点和点是反比例函数图像上的两点，点在反比例函数

的图像上，分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，，连交

轴于点．

(1)求；

(2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值；

(3)连，当时，求的坐标．

                                                              （第25题）

26.（14分）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“阶方点”. 例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方

点”。

(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________(填序号)；

(2)若关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求的值；

(3)若关于的二次函数图像的“阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围．

2022-2023学年江苏泰州姜堰区四校联考九下月考数学试卷

一、选择题(共6小题，每小题3分)

1.下列实数中，比3大的数是 (    )

5                  1                    0                

【答案】

【解析】

2.2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为 (    )

【答案】

【解析】，故选

3.下列运算正确的是 (     )

【答案】

【解析】,错；，对；，错；，错。故选

4.在平面直角坐标系中，点所在象限是 (    )

第一象限           第二象限              第三象限           第四象限

【答案】

【解析】，所以点在第二象限，选

5.已知点、、在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是(   )

【答案】

【解析】最大，错误；最大，错误；，错误；满足条件，故选

6.如图，矩形的边在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图像上，连接并延长交轴于点，且，则的值为 (    )

（第6题）

3                4              5              6

【答案】

【解析】双曲线过点，设则是矩形，

，故选.

二、填空题（共10小题，每小题3分）

7.实数27的立方根是__________.

【答案】3

【解析】

8.若在实数范围内有意义，则的取值范围是____________.

【答案】

【解析】被开方数要大于等于0，.

9.分解因式：_____________.

【答案】

【解析】.

10.请填写一个常数，使得关于的方程_______有两个相等的实数根．

【答案】

【解析】.

11.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为，则可列方程为__________________________.

【答案】

【解析】分别用出5钱和7钱表示出羊的价格即可。

12.已知，则_________.

【答案】

【解析】.

13.把二次函数的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件：_______________.

【答案】

【解析】向上平移1个单位变为，

向右平移3个单位变为即，与坐标轴只有一个公共点则，.

14.根据以下作图过程解决问题：

第一步：在数轴上，点表示数0，点表示数，点表示数，以为直径作半圆；

第二步：以点为圆心，1为半径作弧交半圆于点(如图)；

第三步：以点为圆心，为半径作弧交数轴的正半轴于点．

则点在数轴上表示的数为_________． 

（第14题）

【答案】

【解析】解：如图，点即为所求，

连接，

由题意知，、，

为圆的直径，

，

则，

点在数轴上表示的数为．

故答案为：．

15.若一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______________．

（第15题）

【答案】

【解析】由图可知一次函数过点，且，则，.

16.如图，已知二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点为该图像在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为______________.

（第16题）

【答案】

【解析】解：二次函数，

当时，，，当时，，

点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，

设直线的函数解析式为，

，解得，

即直线的函数解析式为，

，点在抛物线上且在第一象限，设点的坐标为，

设直线的解析式为，，

解得，直线的解析式为，

令且，解得，

此时直线的解析式为，当时，

点横坐标为最大值是，点经过的路程为：，

故答案为：．

三、解答题（共10小题）

17.（10分）（1）计算：；      （2）计算：

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）原式.

（2）原式.

18.（10分）（1）解方程：；          （2）解方程组：

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）解：两边都乘以，得，

解得：，

检验：当时，，所以是方程的解.

（2）

②得：，

解得，

代入①得：，解得：

所以方程组的解为.

19．（8分）先化简，再求值：，其中是方程的根.

【答案】.

【解析】原式

，

由是方程的根，得，

原式．

20.（10分）已知.

(1)用含的代数式分别表示；

(2)当时，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】解：（1）由，得，

由，得；

（2），且，

解得：．

21.（10分）已知关于的一元二次方程．

(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若是原方程的两根，且，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）或1

【解析】解：（1）证明：，

无论取何值，恒大于0，

原方程总有两个不相等的实数根．

（2），是原方程的两根，

，．

，

，

，

，

，

解得：，．

22．（8分）城市书房为市民带来阅读便利，某市计划投资8万元建设几间城市书房，为了保证质量，实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了一间城市书房，总投资追加了4万元，求原计划每间城市书房的建设费用．

【答案】2万

【解析】解：设原计划每间城市书房的建设费用为万元，

则实际每间建设费用为万元，

根据题意得：．

解得．

经检验：是所列方程的根．

答：原计划每间城市书房的建设费用为2万元．

23.（10分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于85元，调研发现在一段时间内，每天的销售量(个)与销售单价(元)满足一次函数关系如图：

 (1)求与之间的函数关系式；

(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

（第23题）

【答案】（1）；（2）单价85元时，最大利润3150元

【解析】解：（1）设，

将点，代入得：，

解得：，

与的函数关系式为：；

（2）设每天获得的利润为元，由题意得，

按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于85元，

，抛物线开口向下，

当时，随着的增大而增大，

有最大值，当时，，

销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元．

24.（10分）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度．现计划将此余料进行切割；

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，

求此正方形的面积；

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，

求此矩形的周长；

                                                                     （第24题）

【答案】（1）；（2）20

【解析】解：（1）如图1，由题意得：，，，

设抛物线的解析式为：，

把代入得：，

，

抛物线的解析式为：，

四边形是正方形，

，

设，，

，

解得：，（舍，

此正方形的面积；

（2）如图2，由（1）知：

设，，

矩形的周长

，

，

当时，矩形的周长最大，且最大值是；

25．（12分）如图，点和点是反比例函数图像上的两点，点在反比例函数

的图像上，分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，，连交

轴于点．

(1)求；

(2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值；

(3)连，当时，求的坐标．

                                                              （第25题）

【答案】（1）2；（2）；（3）

【解析】（1）解：点是反比例函数图像上的点，

；

（2）证明：点的横坐标为，

点的纵坐标为，

，

，

，

，，

在和中，

，

，

，

；

（3）解：，，

，

，

由（2）知，，

，

解得或，

当时，（舍去），

当时，，

26.（14分）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“阶方点”. 例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方

点”。

(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________(填序号)；

(2)若关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求的值；

(3)若关于的二次函数图像的“阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）②③；（2）3或；（3）

【解析】解：（1）①到两坐标轴的距离分别是2，，

，，

不是反比例函数图像的“1阶方点”；

②到两坐标轴的距离分别是1，1，

是反比例函数图像的“1阶方点”；

③到两坐标轴的距离分别是1，1

是反比例函数图像的“1阶方点”；

故答案为：②③；

（2）当时，，

函数经过点，

如图1，

在以为中心，边长为4的正方形中，

当直线与正方形区域只有唯一交点时，

图像的“2阶方点”有且只有一个，

由图可知，，，

一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点时，，此时图像的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点时，，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

综上所述：的值为3或；

（3）在以为中心，边长为的正方形中，

当抛物线与正方形区域有公共部分时，

二次函数图像的“阶方点”一定存在，

如图2，

当时，，，，，

当抛物线经过点时，；

当抛物线经过点时，（舍或；

时，二次函数图像有“阶方点”；

综上所述：当时，二次函数图像的“阶方点”一定存在．