重庆市育才中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附答案）

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考

数学试题

本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知平面向量，若，则（    ）

A.1    B.-1    C.    D.

2.已知是第二象限角，则点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

3.如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角满足：，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数.中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知非零向量满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.如图，在梯形中，且为以为圆心为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设函数，若对任意实数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（    ）

A.若，则

B.若，则

C.

D.若且，则

10.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（    ）

A.

B.为函数的一个对称中心点

C.为函数的一个递增区间

D.可将函数向右平移个单位得到

11.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则下列说法中正确的有（    ）

A.    B.

C.    D.若，则

12.已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（    ）

A.有3个不同的值

B.

C.若，则与无关

D.若，则

第II卷

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知且，则的坐标为__________.

14.已知，则__________.

15.写出一个同时满足下列三个条件的函数__________.

①不是常数函数    ②为奇函数    ③

16.已知函数

（1）的值域为__________.

（2）设，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为__________.

四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.

17.（本小题10分）

已知平面向量满足.

（1）求在上的投影向量的坐标；

（2）当最小时，求与的夹角.

18.（本小题12分）

如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为，角终边与单位圆的交点为.

（1）若，求的取值范围；

（2）若点的坐标为，求点的坐标.

19.（本小题12分）

已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得.

（1）证明：三点共线的充要条件是；

（2）如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点.

20.（本小题12分）

已知向量，函数.

（1）求函数的单调增区间和对称轴；

（2）若关于的方程在上有两个不同的解，记为.

①求实数的取值范围；

②证明：.

21.（本小题12分）

已知，函数.

（1）若函数的图像经过点，求不等式的解集；

（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

22.（本小题12分）

设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式.

（1）求切比雪夫多项式；

（2）求的值；

（3）已知方程在上有三个不同的根，记为，求证：.

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考

参考答案

一､单选题：

1-4CDCC    5-8ADBB

二､多选题：

9.AD    10.ABD    11.ACD    12.AD

三､填空题：

13.    14.    15.    16.，

四､解答题：

17.（1）（2）

解：（1）由题意，，设在上的投影向量为，所以在上的投影向量的坐标为.

（2）

时等号成立，

所以，当最小时，与的夹角的大小为.

法二：也可由坐标法写出，

得所求夹角为.最值由图像分析得出最小值的结论也可酌情给分.

18.（1）；（2）.

解：（1）由题意

，

由可得的取值范围是.

（2）由，得，

，

，

所以点的坐标为.

19.（1）证明：必要性，三点共线，不妨设，可得，，又，得，得证.

充分性：，三点共线.

（2）法一（向量法）

证明：的重心是三条中线的交点，由平面向量基本定理，三点共线，

为的三等分点，同理可证为的三等分点，重心为中线的三等分点.

法二（几何法）：可连接一条中位线，由三角形中位线定理和三角形相似得证.

连接为所在边的中点，与相似，，

易证重心为中线的三等分点.

20.（1），对称轴为（2）.

解：（1），

令此时函数单调递增，

函数单调递增区间为.

令，，得，所以函数的对称轴为；

（2）①，由图像分析得，有两个不同的解，

则.

②因为是方程的两个根，所以，

由图像分析得，，

.

21.（1）或；（2）.

解：（1），解得，

，得，解集为或

（2）是函数定义域的子集，

令在上单调递增，

由复合函数单调性知在上单调递增，，

由题意，，即，

整理得：，令，

故的取值范围是.

22.（1）（2）；

解：（1）因为

，

（2）因为，，

因为，

即，因为，解得（舍去）；

（3）由题意，，

法一：设，代入方程得到，

解三角方程得，不妨取，

，

而，综上.

法二：令，

即，

依据多项式系数对应相等得到.综上.