初中北师大版3 公式法第2课时课时训练

3　公　式　法

第2课时

(打“√”或“×”)

1.任何一个二次三项式都可以运用完全平方公式分解因式. (×)

2.分解因式要彻底,要分解到每一个因式不能再分解为止. (√)

3.多项式中有公因式,可以直接运用公式分解因式. (×)

4.(a+b)2=a2+2ab+b2,这是运用完全平方公式分解因式. (×)

·知识点1　利用完全平方公式分解因式

1.下列因式分解正确的是 (C)

A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b)  B.a2-9b2=(a-3b)2

C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2   D.a2-ab+a=a(a-b)

2.下列各式分解因式正确的是 (A)

A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2   B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2

C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y)   D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)

3.(2021·福州期末)分解因式:9x2+6x+1=　(3x+1)2　. 

4.分解因式(a-b)2+4ab的结果是　(a+b)2　. 

5.因式分解:

(1)x2+2xy2+2y4;　　(2)-4x2+12xy-9y2;　　(3)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81.

【解析】(1)x2+2xy2+2y4=(x2+4xy2+4y4)=(x+2y2)2;

(2)原式=-(4x2-12xy+9y2)=-(2x-3y)2;

(3)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81=(x2-6x+9)2=(x-3)4.

·知识点2　先提公因式再利用公式法分解因式

6.(2021·莆田期末)多项式2x3-4x2+2x因式分解为 (A)

A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2 C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2

7.将下列多项式因式分解,正确的是 (A)

A.a2-4a2b+4a2b2=a2(2b-1)2 B.a3-4a2b+4ab2=a(ab-2)2

C.4a3-4a=4a(a+2)(a-2)  D.a3-4a2=a(a+2)(a-2)

8.(2021·泉州期末)分解因式:-my2+4my-4m=　-m(y-2)2　. 

9.分解因式:m3-4m2n+4mn2=　m(m-2n)2　. 

10.分解因式:

(1)m2(m-1)-4(1-m)2;　　(2)16a2b-16a3-4ab2;　　(3)(x2-4x)2+8(x2-4x)+16.

【解析】(1)原式=m2(m-1)-4(m-1)2

=(m-1)[m2-4(m-1)]

=(m-1)(m2-4m+4)

=(m-1)(m-2)2;

(2)16a2b-16a3-4ab2

=-4a(4a2-4ab+b2)

=-4a(2a-b)2;

(3)原式=(x2-4x+4)2=[(x-2)2]2=(x-2)4.

1.下列各选项中因式分解正确的是 (D)

A.x2-1=(x-1)2    B.a3-2a2+a=a2(a-2)

C.-2y2+4y=-2y(y+2)  D.m2n-2mn+n=n(m-1)2

2.下列因式分解正确的是 (D)

A.3ax2-6ax=3(ax2-2ax) B.x2+y2=(-x+y)(-x-y)

C.a2+2ab-4b2=(a+2b)2  D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2

3.(2021·福州罗源县期末)下列因式分解正确的是 (C)

A.x2-2x+4=(x-2)2   B.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)

C.x2-x+=(x-)2   D.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9)

4.已知xy=2,x-3y=3,则2x3y-12x2y2+18xy3=　36　. 

5.(2021·泉州期末)【阅读学习】作整式的乘法运算时借助图形,可以由图形直观的获取结论.

例1:如图1,可得等式:a(b+c)=ab+ac.

例2:由图2,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

借助几何图形,利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用.

【问题解决】

(1)如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形.利用不同的形式可表示这个大正方形的面积,你能发现什么结论?请用等式表示出来;

(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38.求a2+b2+c2的值;

【拓展应用】

(3)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积.如图4,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF,若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.

【解析】见全解全析

易错点:首项为负,要先提负号

(2021·三明期末)分解因式:

(1)-3x2+6xy-3y2;(2)-a3+2a2-a.

【解析】(1)原式=-3(x2-2xy+y2)

=-3(x-y)2;

(2)原式=-a(a2-2a+1)

=-a(a-1)2.

第2课时

必备知识·基础练

【易错诊断】

1.×　2.√　3.×　4.×

【对点达标】

1.C　A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)2,故此选项错误;

B.a2-9b2=(a-3b)(a+3b),故此选项错误;

C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2,正确;

D.a2-ab+a=a(a-b+1),故此选项错误.

2.A　A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2,正确;

B.2x2-4xy+9y2无法分解因式,故此选项错误;

C.2x2-8y2=2(x+2y)(x-2y),故此选项错误;

D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,故此选项错误.

3.【解析】原式=(3x+1)2.

答案:(3x+1)2

4.【解析】(a-b)2+4ab

=a2-2ab+b2+4ab

=a2+2ab+b2

=(a+b)2.

答案:(a+b)2

5.解析见正文

6.A　原式=2x(x2-2x+1)=2x(x-1)2.

7.A　A.a2-4a2b+4a2b2

=a2(1-4b+4b2)

=a2(2b-1)2,故此选项正确;

B.a3-4a2b+4ab2

=a(a2-4ab+4b2)

=a(a-2b)2,故此选项错误;

C.4a3-4a=4a(a2-1)

=4a(a+1)(a-1),故此选项错误;

D.a3-4a2

=a2(a-4),故此选项错误.

8.【解析】-my2+4my-4m

=-m(y2-4y+4)

=-m(y-2)2.

答案:-m(y-2)2

9.【解析】m3-4m2n+4mn2

=m(m2-4mn+4n2)

=m(m-2n)2.

答案:m(m-2n)2

10.解析见正文

关键能力·综合练

1.D　A.x2-1=(x+1)(x-1),故此选项错误;

B.a3-2a2+a=a(a-1)2,故此选项错误;

C.-2y2+4y=-2y(y-2),故此选项错误;

D.m2n-2mn+n=n(m-1)2,正确.

2.D　A.3ax2-6ax=3ax(x-2),故此选项错误;

B.x2+y2,无法分解因式,故此选项错误;

C.a2+2ab-4b2,无法分解因式,故此选项错误;

D.-ax2+2ax-a=-a(x2-2x+1)=-a(x-1)2,正确.

3.C　A.x2-2x+4=(x-1)2+3,不合题意;

B.4x2-y2=(2x+y)(2x-y),不合题意;

C.x2-x+=(x-)2,符合题意;

D.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9)=a2b(a-3)2,不合题意.

4.【解析】原式=2xy(x2-6xy+9y2)=2xy(x-3y)2,

∵xy=2,x-3y=3,

∴原式=2×2×32=4×9=36.

答案:36

5.【解析】(1)∵正方形面积为(a+b+c)2,小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,

∴由面积相等可得:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,

故可得结论是:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

(2)由(1)可知a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac),

∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38,

∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=121-2×38=45,而a2+b2+c2的值为45;

(3)∵a+b=10,ab=20,

∴(a+b)2=100∴a2+b2+2ab=100,

∴a2+b2=60,

∴S阴影=S两正方形-S△ABD-S△BFG=a2+b2-a2-b(a+b)=(a2+b2-ab)=×(60-20)=20.

即阴影部分的面积是20.

【易错必究】

　解析见正文