初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解2 提公因式法第2课时教案

4.2提公因式法（第2课时公因式是多项式的因式分解）

教学目标

1.学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.

2.通过对因式分解的教学，培养学生“换元”的意识.

教学重点难点

重点：熟练运用提公因式法分解因式.

难点：探索多项式因式分解方法的过程.

教学过程

复习巩固

1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.

2. 公因式：把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.

3.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.

导入新课

活动1（学生交流，教师点评）

【问题1】

请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.

(1) 2-a＝(a-2)；

　　(2) y-x＝(x-y)；

(3) b+a＝(a+b)；

(4) (b-a)2＝(a-b) 2；

(5) –s2+t2＝(s2-t2)；

(6)-m-n＝(m+n).

答案：（1）-；（2）-；（3）+；（4）+；（5）-；（6）-.

【总结】(1)当a-b与-a+b互为相反数时，有

(a-b)n＝ (b-a) n(n是偶数）；

(a-b) n＝-(b-a) n (n是奇数）.

(2)当a+b与 -a-b互为相反数时，有

(-a-b) n＝ (a+b) n (n是偶数）.

活动2（学生交流，教师点评）

【问题2】

下面的多项式有公因式吗？如果有，怎样因式分解呢？

(1)a(2-x)+b(2-x)-c(x-2)；

(2)a(m-n)2+b(n-m)2；

(3)a(a-b)3-(b-a)3.

学生：各式中的各项都含有一个公共的因式,公因式都是多项式.

学生：都含有相同的因式依次为2-x,m-n，a-b.

教师：对学生鼓励，点评并引出课题.

探究新知

探究点一　公因式是多项式的因式分解

活动3

【问题3】（师生互动）

【例1】因式分解：

（1）a(x-3)+2b(x-3)；

（2）2a(b+c)-3(b+c)；

（3）y(x+1)+y2(x+1)2.

【探索思路】(引发学生思考)如何用提公因式法进行因式分解？

解：(1)a(x-3)+2b(x-3)＝(x-3) (a+2b)；

(2) 2a(b+c)-3(b+c)＝(2a-3)(b+c)；

　(3)y(x+1)+y2 (x+1)2

＝y(x+1) [1+y(x+1)]

＝y(x+1) (xy+y+1).

【题后总结】(学生总结，老师点评)提公因式法的基本步骤：

(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.

教师：

【总结】1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.

2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.

【即学即练】

把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)·(8b-7a)分解因式的结果是(　　)

A.8(7a-8b)(a-b)

B.2(7a-8b)2

C.8(7a-8b)(b-a)

D.-2(7a-8b)

答案：C　解析：(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)

＝(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)·(7a-8b)

＝(7a-8b)［(3a-4b)-(11a-12b)］

＝(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)

＝(7a-8b)(-8a+8b)

＝8(7a-8b)(b-a).

探究点二　变形后公因式是多项式的因式分解

活动4（学生交流，教师点评）

【例2】把下列各式因式分解：

（1）a(x-y)+b(y-x)；

（2）6(m-n)3-12(n-m)2.

【探索思路】(引发学生思考)如何用提公因式法进行因式分解？

解：（1）a(x-y)+b(y-x)

＝a(x-y) -b(x-y)

＝ (x-y)(a-b)；

（2）6(m-n)3-12(n-m)2

＝6(m-n)3-12[-(m-n)]2

＝ 6(m-n)3-12(m-n)2

＝6(m-n)2(m-n-2).

【即学即练】（学生独学）

把下列各式因式分解：

（1）(x-y)2+y(y-x)；

 (2)(a+b)(a-b)-a-b.

解：（1）方法1：(x-y)2+y(y-x)

＝（x-y)2-y(x-y)

＝(x-y)(x-y-y)

＝(x-y)(x-2y).

方法2：(x-y)2+y(y-x)

＝（y-x)2+y(y-x)

＝(y-x)(y-x+y)

＝(y-x)(2y-x).

(2) (a+b)(a-b)-a-b＝(a+b)(a-b-1)

探究点三　利用因式分解整体代换求值

【拓展应用】

【例3】已知a+b＝7，ab＝4，求a2b+ab2的值.

分析：原式提取公因式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出值.

解：∵a+b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a+b)＝4×7＝28.

题后总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值.

【例4】△ABC的三边长分别为a、b、c，且a+2ab＝c+2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由.

【探索思路】要判断△ABC的形状→化简已知等式，找出边a、b、c之间的关系→确定△ABC的形状.

解：△ABC是等腰三角形.理由如下：

由a+2ab＝c+2bc，得a+2ab-c-2bc＝0，则(a-c)+2b(a-c)＝0，即(a-c)(1+2b)＝0，∴a-c＝0或1+2b＝0，即a＝c或b＝-(舍去)，∴△ABC是等腰三角形.

【题后总结】(学生总结，老师点评)通过提公因式分解因式，从而找出三边的关系来判定三角形的形状.

课堂练习

1.因式分解2x(-x+y)2-(x-y)3时应提取的公因式是(　　)

A.-x+yB.x-y

C.(x-y)2D.以上都不对

2.若9a2(x-y)2-3a(y-x)3＝M·(3a+x-y)，则M等于(　　)

A.y-xB.x-y

C.3a(x-y)2D.-3a(x-y)

3.若m-n＝-1，则(m-n)2-2m+2n的值是(　　)

A.3             B.2          C.1           D.-1

4.下列用提公因式法分解因式正确的是(　　)

A.12abc-9a2b2＝3abc(4-3ab)

B.3x2y-3xy+6y＝3y(x2-x+2y)

C.-a2+ab-ac＝-a(a-b+c)

D.x2y+5xy-y＝y(x2+5x)

5.下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是(　　)

A.15a2b-20a2b2

B.30a2b3-15ab4-10a3b2

C.10a2b-20a2b3+50a4b

D.5a2b4-10a3b3+15a4b2

6.把多项式m2 (a-2)+m(2-a)因式分解，结果正确的是(　　)

A.(a-2)(m2-m)

B.m(a-2)(m+1)

C.m(a-2)（m-1)         

D.m(2-a)(m-1)

7.把下列各式进行因式分解.

(1)x（a+b)+y(a+b)；

(2) 3a(x-y)-(x-y)；

(3) 6(p+q)2-12(q+p)；

(4)p(a2 +b2 )-q(a2 +b2 ).

(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a).

参考答案：

1. C　 2.　C　3.A4.C　5. A

6. C　解析：m2 (a-2)+m(2-a)＝m2 (a-2)-m(a-2)＝m (a-2)(m-1).

7.解：(1)x（a+b)+y(a+b)

＝(a+b)(x+y)；

(2) 3a(x-y)-(x-y)

＝(x-y)(3a-1)；

(3) 6(p+q)2-12(q+p)

＝6(p+q)(p+q-2)；

（4）p(a2 +b2 )-q(a2 +b2 )＝(a2+b2)(p-q)；

(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)

＝a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)

＝(x-a)(a-b-c).

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

1.提公因式分解因式的一般步骤：

(1)观察；(2)适当变形；(3)确定公因式；(4)提取公因式.

2.提公因式法因式分解的应用

布置作业

教材第98页习题4.3

板书设计

公因式是多项式的因式分解　

一、公因式是多项式的因式分解　　　　　　　　　　　　　　

例1因式分解：

（1） a(x-3)+2b(x-3)；

（2）2a(b+c)-3(b+c)；

(3)y(x+1)+y2(x+1)2.

例2把下列各式因式分解：

（1）a(x-y)+b(y-x)；

（2）6(m-n)3-12(n-m)2.

二、提公因式法的应用

例3已知a+b＝7，ab＝4，求a2b+ab2的值.

例4△ABC的三边长分别为a、b、c，且a+2ab＝c+2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由.