初中数学北师大版八年级下册3 公式法第1课时教学设计

4.3公式法（第1课时运用平方差公式因式分解）

教学目标

1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；

2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力.

教学重点难点

重点：掌握运用平方差公式分解因式的方法.

难点：能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.

教学过程

复习巩固

1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.

2.平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2.

导入新课

活动1（学生交流，教师点评）

【问题1】

填空：

（1）（x+5）（x-5）＝；

（2）（3x+y）（3x-y）＝；

（3）（3m+2n）（3m–2n）＝.

它们的结果有什么共同特征？

答案：（1）；

（2）9–；

（3）9–

学生：以上都是用平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2计算得出来的.

【问题2】根据问题1中等式填空：

（1）x2-25＝；

（2）9＝；

（3）9-＝.

答案：（1）（x+5）（x-5）

（2）（3x+y）（3x-y）；

（3）（3m+2n）（3m–2n）.

教师总结：公共特点：是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，等于这两个数（式）的平方差，反过来，两个数（式）的平方差就可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式，这种变形就是我们今天学习的内容，引出课题.

探究新知

探究点一　用平方差公式因式分解

(a+b)(a-b)＝a2-b2

反过来，a2-b2＝(a+b)(a-b).

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.

【注意】公式中的既可以是单项式，也可以是多项式

活动2（学生交流，教师点评）

【问题3】（师生互动）

下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)

A.a2+(-b)2　　　　　　　　　B.5m2-20mn

C.-x2-y2　　　　　　　　　　D.-x2+9

解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2-20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中-x2+9＝-x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.

【方法总结】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.

【互动】(小组交流)

下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是.(填序号)

①     x2+y2；②1-x2；③-x2-y2；④x2-xy.

答案：②.

活动3　小组讨论(师生互学)

【例1】因式分解：

(1)a4-b4；　(2)x3y2-xy4.

【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.

解：(1)a4-b4＝＝.

(2)x3y2-xy4＝xy2(x2-y2)＝xy2(x+y)(x-y).

【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.

【例2】分解因式：

9(m+n)2-(m-n)2.

解：原式＝[3(m+n)]2-(m-n)2

＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]

＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)

＝(4m+2n)(2m+4n)

＝4(2m+n)(m+2n).

【总结】

1.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.

2.当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.

【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.

【即学即练】 (学生独学)

因式分解：

(1)(a+b)2-4a2；  (2) x4-y4.

解：(1) (a+b)2-4a2＝(a+b-2a)(a+b+2a)

＝(b-a)(3a+b)；

(2)x4-y4＝(x2)2-(y2)2

＝(x2+y2)(x2-y2)

＝(x2+y2)(x+y)(x-y).

活动4（合作探究，解决问题）

探究点二　用平方差公式因式分解解决综合问题.

（师生互动）

【例2】 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.

【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？

解：248-1＝(224+1)(224-1)＝(224+1)(212+1)(212-1)＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).

∵26＝64，∴26-1＝63,26+1＝65，

∴这两个数是65和63.

【题后总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.

活动5　拓展延伸(学生对学)

【例3】利用因式分解计算：

(1)1012-992；

(2)5722×-4282×.

【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解.

解：(1)1012-992＝(101+99)(101-99)＝400.

(2)5722×-4282×＝(5722-4282)×＝(572+428)(572-428)×＝1000×144×＝36 000.

【题后总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便.

【即学即练】 (学生独学)

求证：当n为整数时，多项式

(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.

证明：原式＝(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)＝4n·2＝8n，

∵n为整数，

∴8n被8整除，

即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.

课堂练习

1下列多项式中能用平方差公式因式分解的是()

A.　　　　　　B.20mn

C.　　　　　　D.9

2.因式分解(2x+3)2-x2的结果是（　　）

A.3(x2+4x+3)           B.3(x2+2x+3)

C.(3x+3)(x+3)          D.3(x+1)(x+3)

3若a+b＝3，a-b＝7，则b2-a2的值为（　　）

A.-21      B.21         C.-10        D.10

4.用平方差公式进行简便计算:

（1）38²-37²；　　　　　（2）213²-87²；

（3）229²-171²；　　　　（4）91×89.

5.已知x2-y2＝-1，x+y＝，求x-y的值.

6.已知4m+n＝40，2m-3n＝5.求(m+2n)2-(3m-n)2的值.

参考答案：

1.C　解析：A.中两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故A选项错误；B.20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式因式分解，故B选项错误；C.中两项符号相反，能用平方差公式因式分解，故C选项正确；

D.中，两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故D选项错误.选C.

2.D 解析：(2x+3)2-x2＝(2x+3+x)（2x+3-x)＝(3x+3)（x+3)＝3(x+1)(x+3)

3.A　解析：b2-a2＝(b+a)(b-a)＝ 3×(7)＝21.

4.解：（1）38²37²＝（38+37）（3837）＝75.

（2）213²-87²＝(213+87)(213-87)＝300×126＝37800.

（3）229²-171²＝（229+171）（229-171）

＝400×58＝23200.

（4）91×89＝（90+1）（901）

＝90²-1＝8100-1＝8099.

5.解：∵x2-y2＝(x+y)(x-y)＝-1，x+y＝，∴x-y＝-2.

6.解：原式＝(m+2n+3mn)(m+2n3m+n)

＝(4m+n)(3n2m)

＝ (4m+n)（2m3n).

当4m+n＝40，2m3n＝5时，

原式＝40×5＝200.

课堂小结

 (学生总结，老师点评，当堂达标)

一、运用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).

二、平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.

布置作业

教材第100页习题4.4

板书设计

3　公式法

第1课时　运用平方差公式因式分解

用平方差公式因式分解：

a2-b2＝(a+b)(a-b).

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　

例1因式分解：

(1)a4-b4；　(2)x3y2-xy4.　　　　　　　　　

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　

例2248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.