初中数学北师大版八年级下册3 公式法第2课时教案

4.3公式法（第2课时运用完全平方公式因式分解）

教学目标

1.理解完全平方公式，弄清平方差公式的形式和特点；

2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法；

3.能综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解.

教学重点难点

重点：理解并掌握用完全平方公式分解因式；

难点：灵活应用各种方法分解因式.

教学过程

复习巩固

1.完全平方公式：

 (a+b)2＝a2+2ab+b2， (a-b)2＝a2-2ab+b2.

2.我们已经学过哪些因式分解的方法？

（1）提公因式法

（2）平方差公式

a2-b2＝(a+b)(a-b)

导入新课

活动1（学生交流，教师点评）

【思考】

根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2+2ab+b2、a2-2ab+b2”的式子分解因式吗？

【问题1】

填空：

（1）(a+2b)2＝；

（2）(3a-b)2＝.

它们的结果有什么共同特征？

答案：（1）a2+4ab+4b2；

（2）9a2-6ab+b2.

学生：以上都是用完全平方公式：(a+b)2＝a2+2ab+b2， (a-b)2＝a2-2ab+b2计算得出来的.

【问题2】根据问题1中等式填空：

（1）a2+4ab+4b2＝；

（2）9a2-6ab+b2＝.

答案：（1）(a+2b)2

（2）(3a-b)2.

教师总结：公共特点：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方，这就是我们今天学习的内容，引出课题.

探究新知

探究点一　用完全平方公式因式分解

(a+b)2＝a2+2ab+b2， (a-b)2＝a2-2ab+b2.

反过来

a2+2ab+b2＝(a+b)2，a2-2ab+b2＝(a-b)2..

【总结】

1.完全平方公式：a2±2ab+b2＝(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

2.根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.

完全平方式的特点：

  1.必须是三项式（或可以看成三项的）；

        2.有两个同号的数或式的平方；

        3.中间有两底数之积的±2倍.

【注意】公式中的既可以是单项式，也可以是多项式.

活动2（学生交流，教师点评）

【问题3】（师生互动）

下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　　)

(1)a2+ab+b2；(2)a2-a+；(3)9a2-24ab+4b2；(4)-a2+8a-16.

A.1个　B.2个  C.3个  D.4个

解析：(1)a2+ab+b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2-a+＝(a-)2；(3)9a2-24ab+4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)-a2+8a-16＝-(a2-8a+16)＝-(a-4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解.

答案：B

【方法总结】能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

【即学即练】(小组交流)

下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是.(填序号)

①x2-2x-2；②x2+1；③x2-4x+4；④x2+4x+1.

答案：③

活动3　小组讨论(师生互学)

【例1】因式分解：

 (1)9x2+6x+1；

(2)3m2n-12mn+12n；

(3)(a+b)2-12(a+b)+36.

【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.

解：(1) 9x2+6x+1＝(3x+1)2.

(2) 3m2n-12mn+12n＝3n（m2-4m+４）＝3n(m-2)2.

(3) (a+b)2-12(a+b)+36＝(a+b-6)2.

【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.

活动4（合作探究，解决问题）

【例2】把下列各式分解因式：

 (1)-3a2x2+24a2x-48a2；

(2)(a2+4)2-16a2.

【探索思路】(引发学生思考)观察式子中的各项，提取公因式，用公式进行因式分解.

解：(1)-3a2x2+24a2x-48a2＝-3a2(x2-8x+16)＝-3a2(x-4)2.

(2) (a2+4)2-16a2＝(a2+4)2-(4a)2＝(a2+4+4a)·(a2+4-4a)＝(a+2)2(a-2)2.

【题后总结】(学生总结，老师点评)因式分解的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式.

【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止

【即学即练】 (学生独学)

因式分解：

(1)(a+b)2-4a2；  (2) x4-y4.

解：(1) (a+b)2-4a2＝(a+b-2a)(a+b+2a)

＝(b-a)(3a+b)；

(2)x4-y4＝(x2)2-(y2)2

＝(x2+y2)(x2-y2)

＝(x2+y2)(x+y)(x-y).

活动5

探究点二　用因式分解进行简便计算或化简

（师生互动）

【例3】计算或化简下列各式：

(1)2022+202×196+982；

(2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4.

【探索思路】(引发学生思考)利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可.

解：(1) 2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982

＝(202+98)2

＝3002＝90 000.

(2) (a2-2)2-2a2(a2-2)+a4＝(a2-2)2-2a2(a2-2)+(a2)2

＝(a2-2-a2)2

＝(-2)2＝4.

【即学即练】 (学生独学)

利用因式分解计算：

(1)342+34×32+162；

(2)38.92-2×38.9×48.9+48.92.

解：(1)342+34×32+162＝(34+16)2＝2500；

(2)38.92-2×38.9×48.9+48.92＝(38.9-48.9)2＝100.

活动6　拓展延伸(学生对学)

【例4】已知a+b＝5，ab＝10，求a3b+a2b2+ab3的值.

【探索思路】(引发学生思考)将a3b+a2b2+ab3分解为ab与(a+b)2的乘积，由运用整体代入的数学思想来解答.

解：a3b+a2b2+ab3＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2.

当a+b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.

【题后总结】(学生总结，老师点评)解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值.

【即学即练】 (学生独学)

课堂练习

1.下列多项式中不能用公式法因式分解的是()

A.　　　　　 B.2ab

C.　　　　 D.

2.计算：()

A.100　　　　　　　　 B.150

C.10 000　　　　　　　 D.22 500

3.下列因式分解正确的是()

A.1(a)a

B.(x1y)(x1y)

C.(xy)(xy)

D.

4.分解因式：4y()

A.　　　　 B.

C.　　　　 D.y(y2)(y2)

5.把下列多项式因式分解：

（1）x212x+36;    （2）4(2a+b)24(2a+b)+1;

（3）y2+2y+1x2.        

6.已知,求的值.

7.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+2b2+c2-2b(a+c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由.

参考答案：

1.B　解析：A.，符合用完全平方公式因式分解的式子特点，故此选项正确；

B.不符合用完全平方公式因式分解的式子特点，故此选项错误；

C.(5ba)(5ba)，符合用平方差公式因式分解的式子特点，故此选项正确；

D.4(b2)(b2)，符合用平方差公式因式分解的式子特点，故此选项正确.

故选B.

2.C　解析：10 000.故选C.

3.A　解析：A. 1a1，故A项正确；

B .(x1y)(x1y)，故B项错误；

C.(yx)(yx)，故C项错误；

D.，故D项错误.故选A.

4.B　解析：原式，故选B.

5.解：(1)x212x+36＝x22·x·6+62

＝(x6)2.

(2) 4(2a+b)24(2a+b)+1＝[2(2a+b)]² 2·2(2a+b)·1+1²

＝(4a+2b- 1)2.

(3)y2+2y+1x2＝(y+1)²x²

＝(y+1+x)(y+1-x).

6.解：由

得

∴.

∴.

7.解：由a2+2b2+c2-2b(a+c)＝0，得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2＝0，

即(a-b)2+(b-c)2＝0，∴a-b＝0，b-c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

一、运用完全平方公式因式分解：

a2+2ab+b2＝(a+b)2，a2-2ab+b2＝(a-b)2.

二、完全平方公式的特点：

(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；

(2)有两个同号的平方项；

(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍).

两项都能写成平方的形式，且符号相反.

布置作业

教材第103页习题4.5

板书设计

运用完全平方公式因式分解

运用完全平方公式因式分解：

a2+2ab+b2＝(a+b)2，　　　　　　　　　a2-2ab+b2＝(a-b)2.

例1因式分解：

(1)9x2+6x+1；

(2)3m2n-12mn+12n；

(3)(a+b)2-12(a+b)+36.

例2把下列各式分解因式：

(1)-3a2x2+24a2x-48a2；

(2)(a2+4)2-16a2.

例3计算或化简下列各式：

(1)2022+202×196+982；

(2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4.