2019届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期第二次大联考数学（理）试题 PDF版

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

10【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

其中的最值一定在顶点处取到，所以，

解得：

11．【解析】作出f（x）的函数图像如图所示：

 由[f（x）]2=a可得f（x）=，∴＞1，即a＞1．

不妨设x1＜x2，则2x12==，

令=t（t＞1），则x1=﹣，x2=lnt，

∴x1+x2=lnt﹣，令g（t）=lnt﹣，则g′（t）==，

∴当1＜t＜8时，g′（t）＞0，当t＞8时，g′（t）＜0，

∴当t=8时，g（t）取得最大值g（8）=ln8﹣2=3ln2﹣2．

12．【解析】由题意知，,则，k ，其中k =，

，故与同为奇数或同为偶数.

在上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间包含的周期应该最多，所以，得，即，所以

当时，，为偶数，，此时，当或或 时，都成立，舍去；

当时，，为奇数，，此时，当且仅当时，成立。

二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.

13．       14.         15．6      16．

15．6  过点P作的垂线为y轴，以为x轴，建立平面直角坐标系，:y=0,  ,P(0,-1),设，

所以

由，可知， 或，

16．

首先PM的最小值就是P到EF的距离．

连接B1D1交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B1D1DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D1G为D1B1的四分之一．其次，连接BD，在线段BD上取点H，使BH=BN，连接PH，，则△D1DB≌△D1C1B，从而PN=PH．最后，连接GH交BD1于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH．

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2， ∴GH=．  

三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解析：(1)由得：

即

∵A、B、C是△ABC的内角，∴

因此，，又，故         ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

由得：

∴┄┄┄┄6分

(2)由得：

由正弦定理得：，      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

∴      在△BCD中，

∴CD = 13．           ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

18．解析：（1）如图，过点作于，连接.    

平面平面，平面

平面平面于   平面

又平面，      ,

四边形为平行四边形.   ,   

平面，平面

平面           ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（2）连接由（1）得为中点，又，为等边三角形，

分别以为轴建立

如图所示的空间直角坐标系.

则

，，，

设平面的法向量为.

由得

令，得.

,

直线与平面所成角的正弦值为.     ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分

19．解析：(1)由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为，

  所以.   ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分

(2) 甲生产线生产的产品的利润分布列为

所以)，         ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

乙生产线生产的产品的利润分布列为

所以  ，       ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

因为，所以 ）- 

所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

20. 解析：(1) 由题意，e＝，e2＝＝，所以a＝b，c＝b.

又＝，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2，故椭圆C的方程为┄┄┄4分

(2) 当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为

当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.

可得两圆交点为Q(-1，0)．         ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(-1，0)．

下证Q(-1，0)符合题意．

设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y＝，代入

并整理得，  设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以＝＝x1x2＋+1+

＝x1x2＋ (x1＋x2)＋

＝(1＋k2) ++=0

故，即Q(-1，0)在以AB为直径的圆上．

综上，以AB为直径的圆恒过定点(-1，0)．    ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

21. 解析：（1），， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分

知：在和上递减，在上递增，

当时，；

当a>1时，，  故┄ 5分

（2）由（1）知在和上递减，在上递增，

①当时，，而，故在上递增，

∴，∴，即；

②当时，，

令，则，

故在上递增，上递减，∴

∴，即，

综上，，.     ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

22．解析：（1）∵，∴，

∴曲线C的直角坐标方程为．         ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分

∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．

∴直线l的极坐标方程为．      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分

（2）将代入曲线C的极坐标方程得，

∴A点的极坐标为．

将代入直线l的极坐标方程得，解得．

∴B点的极坐标为，   ∴．       ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

23．解析：（1） ,

或或，

解得：或或无解，

综上，不等式的解集是       ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分

（2）

，当时等号成立，

不等式有解，

，或，即或，

实数的取值范围是或                 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分