安徽省2022-2023学年九年级下学期第一次质检数学试卷

这是一份安徽省2022-2023学年九年级下学期第一次质检数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省九年级（下）第一次质检数学试卷
一、选择题
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．水涨船高
3．用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时，此方程可变形为（　　）
A． B．
C． D．
4．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
5．如图随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让灯泡L1、L2至少一盏发光的概率为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（　　）

A．18° B．36° C．54° D．72°
7．若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
9．已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，图象如图所示，下面四个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为 　 　人．
12．质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n
100
150
200
250
300
500
1000
合格产品数m
89
134
179
226
271
451
904
合格率
0.890
0.893
0.895
0.904
0.903
0.902
0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） 　 　．
13．如图，等边△ABC中，BC＝16，M为BC的中点，P为△ABC内一动点，PM＝2，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，连接MQ，则线段MQ的最小值为 　 　．

14．如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若AC：BC＝2：3，则的值为　 　；
（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为　 　．

三、解答题
15．（1）计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°；
（2）解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
16．如图，已知AB⊥BC，垂足为点B，AB＝4，BC＝3，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DB，DC．
（1）线段DB＝　 　；
（2）求线段DC的长度．

17．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．

18．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．

20．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1．
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．

21．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
组别
分数段（分）
频数
频率
A组
60≤x＜70
30
0.1
B组
70≤x＜80
90
n
C组
80≤x＜90
m
0.4
D组
90≤x＜100
60
0.2
（1）在表中：m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在　 　组；
（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．

22．某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：

每辆进价（万元）
每辆售价（万元）
每季度销量（辆）
A
60
x
﹣x+100
B
50
y
﹣2y+150
（注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．）
根据以上信息解答下列问题：
（1）用含x的代数式表示y；
（2）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值；
（3）求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．



参考答案
一、选择题
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．水涨船高
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、守株待兔是随机事件，故A符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故B不符合题意；
C、瓮中捉鳖是必然事件，故C不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时，此方程可变形为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：x2+px+q＝0，
x2+px＝﹣q，
x2+px+（p）2＝﹣q+（p）2，
所以（x+p）2＝．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
【分析】原抛物线的顶点坐标为（0，1），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣1），根据抛物线的顶点式求解析式．
解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，﹣1），
∴平移后抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
5．如图随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让灯泡L1、L2至少一盏发光的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个的情况数以及能让两盏灯泡能让灯泡L1、L2至少一盏发光的情况数，即可求出所求概率．
解：画树状图，如图所示：

共有6种等可能的情况数，其中能让灯泡L1、L2至少一盏发光的有4种，
则能让灯泡L1、L2至少一盏发光的概率为＝．
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（　　）

A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，
根据二次函数的图象可知a＞0，b＜0，
∴函数y＝kx+b的大致图象经过二、三、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．
解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cos∠OCE＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．
9．已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】连接OD、OC，根据CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，进而得出∠DOC＝90°，根据S阴影＝S扇形﹣S△ODC即可求得．
解：连接OD、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝90°，
∴S阴影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．
故选：A．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积等，有一定的难点，求得∠DOC＝90°是本题的关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，图象如图所示，下面四个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先由抛物线与x轴交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②③正确，
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．
二、填空题
11．网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为 　12　人．
【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：依题意，得：1+x+x2＝157，
解得：x1＝12，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n
100
150
200
250
300
500
1000
合格产品数m
89
134
179
226
271
451
904
合格率
0.890
0.893
0.895
0.904
0.903
0.902
0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） 　0.9　．
【分析】根据表格中的数据和四舍五入法，可以得到在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率．
解：由表格中的数据可得，
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是0.9，
故答案为：0.9．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．
13．如图，等边△ABC中，BC＝16，M为BC的中点，P为△ABC内一动点，PM＝2，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，连接MQ，则线段MQ的最小值为 　8﹣2　．

【分析】由旋转的性质可得AP＝PQ，∠APQ＝60°，由“SAS”可证△APH≌△QPM，可得QM＝AH，即可求解．
解：如图，连接AM，以PM为边作等边三角形PMH，连接AH，

∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点，
∴BM＝CM＝8，
∴AM＝8，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，
∴AP＝PQ，∠APQ＝60°，
∵△PMH是等边三角形，
∴PH＝PM＝2＝MH，∠MPH＝∠APQ＝60°，
∴∠APH＝∠QPM，
在△APH和△QPM中，
，
∴△APH≌△QPM（SAS），
∴QM＝AH，
∵当点H在线段AM上时，AH有最小值为AM﹣MH＝8﹣2，
∴MQ的最小值为8﹣2，
故答案为：8﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若AC：BC＝2：3，则的值为　　；
（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为　　．

【分析】（1）设AC＝2k，BC＝3k，利用相似三角形的性质求出CD2即可解决问题．
（2）当D．O．M共线时，设CD＝a，AC＝b，由CD2＝AC•BC，推出BC＝，推出AB＝b+＝，CO＝OA﹣AC＝，HM＝MI＝HL＝CB＝，由CO∥HM，推出＝，推出＝，整理得：（）[（）2+﹣1]＝0，求出的值即可解决问题．
解：（1）如图，利用AD，BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DC⊥AB，
∴∠ACD＝∠DCB＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，∠ADC+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠DAC，
∴△ACD∽△DCB，
∴CD：CB＝AC：CD，
∵AC：CB＝2：3，
∴可以假设AC＝2k，BC＝3k，
∴CD2＝6k2，
∴＝＝＝，
故答案为．

（2）当D．O．M共线时，设CD＝a，AC＝b，
∵CD2＝AC•BC，
∴BC＝，
∴AB＝b+＝，CO＝OA﹣AC＝，HM＝MI＝HL＝CB＝，
∵CO∥HM，
∴＝，
∴＝，
整理得：（）[（）2+﹣1]＝0
∵≠0，
∴＝或（舍弃），
∵＝＝1+（）2，
∴＝．
故答案为．

【点评】本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
15．（1）计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°；
（2）解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入后进行计算即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣3）＝9+12＝21＞0，
∴，
∴，．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值混合运算和解一元二次方程﹣公式法，熟记特殊角的三角函数值和掌握一元二次方程解法是解题的关键．
16．如图，已知AB⊥BC，垂足为点B，AB＝4，BC＝3，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DB，DC．
（1）线段DB＝　4　；
（2）求线段DC的长度．

【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，据此求解；
（2）过点D作DE⊥BC于点E，首先在Rt△BDE中求得DE和BE的长，然后在Rt△CDE中利用勾股定理求解，即可得到线段DC的长度．
解：（1）由旋转可得：AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴DB＝AB＝4；
故答案为：4；
（2）过点D作DE⊥BC于点E．

∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
Rt△BDE中，，，
∴．
在Rt△CDE中，．
【点评】本题考查了旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
17．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．

【分析】（1）由“AAS”可证△ACB≌△EBD；
（2）由全等三角形的性质可得BC＝DB＝12，AC＝EB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝∠A，
在△ACB和△EBD中，
，
∴△ACB≌△EBD（AAS）；
（2）解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC＝DB，AC＝EB，
∵E是BC的中点，
∴，
∵DB＝12，BC＝DB，
∴BC＝12，
∴AC＝EB＝BC＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，然后解关于k的不等式即可；
（2）设方程的另一个根为m，利用两根之和求出m＝6，再利用两根之积求k的值；
（3）把k＝1或k＝2或k＝3代入方程，然后分别解方程即可得到满足条件的k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，解得k≤3，
即k的取值范围是k≤3；
（2）设方程的另一个根为m，则4+m＝﹣2，解得m＝﹣6，
∴2k﹣5＝4×（﹣6），解得k＝﹣
∴k的值为﹣，另一个根为﹣6，
（3）∵k为正整数，且k≤3，
∴k＝1或k＝2或k＝3，
当k＝1时，原方程为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
当k＝2时，原方程为x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
当k＝3时，原方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，
∴k的值为1或3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据切线的判定定理，圆周角定理解答即可；
（2）根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴，
∵BF＝2，sin∠BEC＝，
设⊙O的半径为r，
∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝r，
∴，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴⊙O的半径为3．

【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
20．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1．
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．

【分析】（1）先设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2，再将B1点坐标代入抛物线的解析式即可得出答案；
（2）令x＝0即可求出D点坐标，再设出C点坐标C（m，m），代入抛物线解析式解方程即可求得C点坐标．
解：（1）由题意可知，A（1，0），A1（2，0），B1（2，1），
设以A为顶点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2；
∵此抛物线过点B1（2，1），
∴1＝a（2﹣1）2，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2；

（2）∵当x＝0时，y＝（0﹣1）2＝1，
∴D点坐标为（0，1），
由题意得OB在第一象限的角平分线上，
故可设C（m，m），
代入y＝（x﹣1）2；得m＝（m﹣1）2；
解得m1＝，m2＝（舍去）．
故C点坐标为（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
21．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
组别
分数段（分）
频数
频率
A组
60≤x＜70
30
0.1
B组
70≤x＜80
90
n
C组
80≤x＜90
m
0.4
D组
90≤x＜100
60
0.2
（1）在表中：m＝　120　，n＝　0.3　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在　C　组；
（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．

【分析】（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率＝频数÷总人数可得m、n的值；
（2）根据（1）中所求结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解可得．
解：（1）∵本次调查的总人数为30÷0.1＝300（人），
∴m＝300×0.4＝120，n＝90÷300＝0.3，
故答案为：120，0.3；

（2）补全频数分布直方图如下：


（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，
而第150、151个数据的平均数均落在C组，
∴据此推断他的成绩在C组，
故答案为：C；


（4）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A、C两组同学的有2种结果，
∴抽中A、C两组同学的概率为＝．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列表法或画树状图法求概率．
22．某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：

每辆进价（万元）
每辆售价（万元）
每季度销量（辆）
A
60
x
﹣x+100
B
50
y
﹣2y+150
（注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．）
根据以上信息解答下列问题：
（1）用含x的代数式表示y；
（2）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值；
（3）求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．
【分析】（1）根据4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍列出等量关系，化简即可；
（2）根据该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同列出方程，解方程求出的解满足利润不为0；
（3）设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，根据总利润＝销售A，B两种车的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
解：（1）根据题意得：﹣2y+150＝2（﹣x+100），
整理得：y＝x﹣25；
（2）根据题意得：（x﹣60）（﹣x+100）＝（y﹣50）（﹣2y+150），
由（1）知，y＝x﹣25，
∴（x﹣60）（﹣x+100）＝（x﹣75）（﹣2x+200），
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得x1＝90，x2＝100，
∵x＝100时利润为0，
∴x的值为90；
（3）设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，
则w＝（x﹣60）（﹣x+100）+（y﹣50）（﹣2y+150）
＝（x﹣60）（﹣x+100）+（x﹣75）（﹣2x+200）
＝﹣3x2+510x﹣21000
＝﹣3（x﹣85）2+675，
∵﹣3＜0，
∴当x＝85时，w有最大值，最大值为675，
答：该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或一元二次方程．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．

【分析】（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；
（2）根据BD＝CD＝DE，可得BC的长，再根据相似三角形的性质求出CE，AE得解；
（3）设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，求得S△CDE＝S△BDE＝5k，根据相似三角形的性质得到，求得S△ABE＝4S△OBF，于是得到S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，再由相似三角形的性质即可得到结论．
解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；
（3）∵，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BC＝2CD，
∴．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确地识别图形是解题的关键．