湖南省名校联合体2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题含解析

名校联考联合体2023年春季高一第一次联考数学

一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 若，则为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 不等式的解集是，则的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（    ）

A  B.

C.  D.

5. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知锐角三角形内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数则称函数为的“界函数”.若给定函数，则下列结论不成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知向量，若，则下列结论在确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 与的夹角为锐角

11. 三角形中，角的对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 已知函数，则（    ）

A. 函数关于轴对称

B. 函数的最小正周期为

C. 函数的值域为

D. 方程在上至多有8个实数根

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设a，b是不共线的两个向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值为________.

14. 已知函数零点为，且，则__________.

15. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．

16. 已知平面向量，若，且，则的取值范围是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步聚.

17. 设，其中.

（1）当时，求的值；

（2）求的最大值及取最大值时对应的的值.

18. 如图，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，设角的终边与单位圆交于点.

（1）求的值；

（2）求点的坐标.

19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若. D为BC的中点，，记

（1）若，求AB的值;

（2）求a+2c取值范围.

20. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.

（1）求；

（2）当点为中点时，求：的余弦值；

（3）求：的最小值；当取得最小值时设，求的值.

21. 技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.

（1）根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升

（2）已知信号功率，证明：；

（3）现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）

22. 已知函数，如果存在给定实数对，使得恒成立，则称为“完美函数”.

（1）判断函数是否是“完美函数”，并说明理由；

（2）若是一个“完美函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域.