三角函数定义专题-讲义-2023二轮复习

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【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1：设为锐角，为小于的角，为第一象限角，
为小于的正角，则下列等式中成立的是
A.B. C.D.
2：下面四个命题中正确的是（ ）
A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角
C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限角
【知识点一】:角的概念与推广
一、正角、负角、零角：
1.正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
2.负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
3.零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
二、象限角与轴线角：
1.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
例：第一象限角或
2.轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角
例：终边落在轴上的角： =或
【典型例题】
考点一： 角的概念及推广
例1．已知,求的范围
练1：设为锐角，为小于的角，为第一象限角，
为小于的正角，则下列等式中成立的是
A.B. C.D.
练2：下面四个命题中正确的是（ ）
A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角
C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限角
考点二： 终边相同的角
若的终边与角的终边相同，在内写出终边与角的终边相同的角
练1：已知角a＝－3000°,则与a终边相同的最小的正角是________．
练2：已知a＝－1910°
(1)把角a写成()的形式，指出它是第几象限的角；
(2)求出θ的值，使θ与a的终边相同，且.
【知识点二】：角度与弧度制的转换
弧度制：
1.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角．
2.弧度与角度的换算:
， ， ．
二、弧长与扇形面积公式:
弧长公式：
扇形面积公式：
【典型例题】
考点一： 弧度制概念的理解
例1. 下列命题中，真命题的是
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧长；
B.一弧度是长度为半径长得弧；
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和；
D.一弧度是长度等于半径长得弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
练1.下列说法正确的有
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
② 的角是周角的 ,的角是周角的
③ 的角比的角大
④用弧度度量角时,角的大小与圆的半径有关
考点二： 弧度与角度相互转化
例1：半径为的圆内，弧长为的弧所对的圆心角的度数为______．
练1：若，则角的终边在（ ）．
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
【知识点三】：任意角的三角函数值及其符号
一、三角函数的概念
1.定义:在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
①比值叫做的正弦，记作，即；
②比值叫做的余弦，记作，即；
③比值叫做的正切，记作，即；
④比值叫做的余切，记作，即；
2.符号:由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），
对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），
对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），
对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值．
由三角函数的定义：“全是天才”
（3）特殊角的三角函数：
对于一些常见的、特殊角的三角函数值需要熟练记忆，如：
【典型例题】
考点一：已知终边上一点，求三角函数值
例1.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值．
练1：已知点是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是( )
A．B．
C．D．
例2：已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且，则y＝_________
练2：在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则.
考点二：判断三角函数值符号
例1：已知且，则的终边落在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
练1：已知，那么角是
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
练2：角满足条件,则角在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
练3：已知,则的终边落在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
练4：已知则所在的象限
A.第一或第二象限 B.第二或第四象限
C.第二或第三象限 D.第一或第三象限
【知识点四】：三角函数线的定义与应用
一、三角函数线：
1.单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆．设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴交点分别为，，而与轴的交点分别为，．由三角函数的定义可知，点的坐标为．
2.有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向．具有方向的线段叫做有向线段．
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．
3.三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点．我们就分别称有向线段，，为正弦线、余弦线、正切线．
二、方法清单
1.方向与坐标轴正方向一致的有向线段为正，此时相应的二角函数值为正；方向与坐标轴正方向相反的有向线段为负，此时相应的三角函数值为负．
2.角的终边在x轴上时，正切线、正弦线变为一个点；角a的终边在y轴上时，余弦线变为一个点，正切线不存在．
3.若0