直线与圆的方程专题讲义-2023二轮复习

这是一份直线与圆的方程专题讲义-2023二轮复习，共39页。试卷主要包含了1 直线与圆的方程2，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

8.1 直线与圆的方程
【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.下列说法中，正确的是()
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为()
A．30°B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
3.将直线绕点按逆时针方向旋转，所得的直线方程为___________．
【知识点一：直线的倾斜角与斜率】
一、直线的倾斜角
1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角．一条直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。
2.倾斜角取值范围：直线的倾斜角的取值范围是.
3．倾斜角与直线形状的关系
【理解】
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①轴正向；②直线向上的方向；③小于的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.
二、直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值值叫做这条直线的斜率．常用小写字母表示，即.
2．斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为.当时，直线没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度。
【理解】
1．倾斜角与斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于轴(平行于轴或与轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于轴的正方向的倾斜程度．
当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；
当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是，分母必须是；反过来，如果分子是，分母必须是，即.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
【典型例题】
例1.下列说法中，正确的是()
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
例2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为()
A．30°B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
例3.将直线绕点按逆时针方向旋转，所得的直线方程为___________．
例4.已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
练1.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
练2.(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
练3.直线经过两点，那么直线倾斜角的取值范围是
A. B.
C. D.
【知识点二：直线的方程】
一、直线的点斜式方程
1.定义：直线过定点，斜率为，则把方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
2.说明：如图所示，过定点，倾斜角是的直线没有点斜式，其方程为,或.
关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点和斜率；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程与方程不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点的一条直线．
(3)当取任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线．
二、直线的斜截式方程
1.定义：如图所示，直线的斜率为，且与轴的交点为，则方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
2.说明：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．
【理解】
斜截式与一次函数的解析式相同，都是的形式，但有区别，当k≠0时，即为一次函数；当时，，不是一次函数，一次函数必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．
三、直线的两点式方程
经过两点，且的直线方程，叫做直线的两点式方程。
四、直线的截距式方程
直线与轴交点；与轴交点，其中，则得直线方程，叫做直线的截距式方程。
五、直线的一般式方程
1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于，的二元一次方程表示．
(2)每个关于，的二元一次方程都表示一条直线．
2．直线的一般式方程的定义
我们把关于，的二元一次方程(其中，不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
【理解】1．求直线的一般式方程的策略
(1)当时，方程可化为，只需求，的值；若，则方程化为，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
2．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得；
②当时，得斜截式：.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得；
②当时，方程两边同除以，得；
③化为截距式：.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
六. 两条直线的平行与垂直
1.平行的条件
（1）当两条不重合的直线的斜率均不存在时，；
（2）直线有斜截式方程时，则.
（3）若直线：，则.
2.垂直的条件：
（1） 若直线的斜率为0，直线的斜率不存在，则；
（2）若两条直线分别有斜率，则.
（3）直线：，则.
七、两条直线的交点
直线，直线
直线与直线相交，则方程组有唯一解，
此时交点为
八、两点间的距离
两点间的距离公式为.
九、点到直线的距离
点到直线的距离为.
十、 两条平行直线的距离
两条平行直线的距离转化为点到直线的距离求解；
两平行直线与 的距离可用公式求解.
【典型例题】
考点一： 直线的点斜式方程
(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．
练1. 求证：不论为何值时，直线总过第二象限．
考点二： 直线的斜截式方程
例2.(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
练2. 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3.
考点三： 直线的两点式方程
例3.(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
练3. 已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在的直线方程.
考点四： 直线的截距式方程
例4.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
练4. 求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
考点五： 直线的一般式方程
例5. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是，经过点；
(2)经过点，平行于轴；
(3)在轴和轴上的截距分别是；
(4)经过两点 ．
练5. (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
考点六：两条直线位置关系的判定
例1.“”是直线平行于直线的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
例2.已知直线与直线平行，则实数的
取值为
A. B.C. D.
例3.已知直线，.若
，则实数的值是
A. 0B.2或-1C. 0或-3D. -3
例4.已知直线，，则
“”是“”
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
例5 .直线过点且倾斜角为,直线过点且与直线
垂直,则直线与直线的交点坐标为____.
例6 .已知三条直线：，：，：，试判断这三条
直线能否构成一个三角形？若不能，求出对应的实数的值，并指出原因．
练1 .已知直线，.若
∥，则实数的值是
A. 或B.或C. D.
练2 .若，是两条平行直线，则的值是
A. 或B.
C. D. 的值不存在
练3 .“” 是“直线与直线相互垂
直”的
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
练4 .设三条直线和围成直角三
角形，则的值是___________。
考点七：与直线有关的距离、对称问题
例1.已知直线：和两个定点，，在直线上取一点M，使最小，求点M的坐标____________．
例2 .直线关于点对称的直线方程方程是
A. B.
C. D.
例3 .点在直线上，且点到直线的距离为，则点的
坐标为
A. B.
C. 或D. 或
例4.已知直线经过点，则原点到点的
距离可以是
A．B．C．D．
练1 .已知点，则点到直线的距离为_________．
练2 .点关于直线对称的点的坐标为________．
练3 .到直线距离为的点的轨迹方程为_________．
【知识点三：圆的方程】
一、圆的标准方程
圆的标准方程：
在平面直角坐标系中，圆心，半径长为的圆的标准方程是.
当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
圆的几何要素：圆心和半径；
二、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系如下
考点一： 圆的标准方程
例1. 若一圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径分别为
A.B.
C.D.
例2. 根据下列条件求圆的标准方程：
（1）圆心为，且经过点；
（2）圆心在直线上，且过点，；
（3）圆心为，且与直线相切；
练1. 在平面直角坐标系内有三个定点.记ABC的外接圆为E.
求圆E的标准方程.
考点二：点与圆的位置关系
例1. 若圆的半径为5，点的坐标为，点的坐标为，则点的位置为
A.在圆内B.在圆上
C.在圆外D.不确定
例2.若坐标原点在圆的内部，则实数m的取值范围是
A. B.
C.D.
练1. 已知点在圆的内部，求实数的取值范围．
练2. 使圆上点与点的距离最大的点的坐标是( )
A. B.
C.D.
【知识点四：圆的一般方程】
当时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
表示的圆的圆心为，半径长为.
温馨提示：(1) x2，y2项的系数均为1；(2) 没有xy项；(3) D2＋E2－4F＞0.
考点一：圆的一般方程
例1. 圆的圆心为
A.B.C.D.

例2. 方程表示一个圆，则实数的取值范围是____________.

练1. 圆的圆心坐标和半径分别是
A.B.C.D.

练2 .方程表示的图形是
A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在

练3.已知圆，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是
A.(0，－1)B.(1，－1)
C.(－1,0)D.(－1,1)

考点二：圆相关的对称问题
例1.已知点P是圆C：上任意一点，P点关于直线的对称点在圆C上，则实数等于
A.10B.－10C.20D.－20

例2. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A． B．
C．D．

练1.若直线始终平分圆的周长，则mn的取值范围是
A.(0,1)B.(0,1]C.(－∞，1)D.(－∞，1]
练2. 设圆的方程为,直线的方程为，求关于
对称的圆的方程.
考点三：圆相关的最值问题
①形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如知形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如形式的最值问题，转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
例1. 已知实数满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最大值和最小值.
练1. 已知实数满足，则的最大值是________.
练2. 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
练3.已知，则的最大值为
A.9B.14
C.14－6D.14＋6
【小试牛刀】
1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为( )
A．①②③④B．①③
C．②④ D．以上全错
2.（圆的圆心到直线的距离为
A．1B．2C．D．2
3. 已知圆的方程是，则点P(3,2)满足
A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外
4. 已知，则以AB为直径的圆的方程是
A.B.
C. D.
5. 圆关于原点(0,0)对称的圆的方程是
A. B.
C. D.
6.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为
A.B.C.D.
7. 已知，试判断直线与的位置关系，并证明你
的结论.
8. (1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．
9.求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程．
【巩固练习——基础篇】
1. 直线eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1B．－1
C．7 D．－7

2. 三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．
3. 在轴上求一点,使以点,和为顶点的三角形的面积为10.
4. 直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
5. 斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
6. 在轴上求一点,使以点,和为顶点的三角形的面积为10.
7.“”是“直线与平行”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若直线是圆的一条对称轴，则的值为
A．B．C．D．
9. 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
10. 将圆：平分的直线方程可以是（ ）
A.B.
C.D.
11. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A.B.
C.D.
12.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．
13.求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
14.过两点的直线的倾斜角为，求的值.
15. 直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) B. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)π))
C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π)) D. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,4)π))
16.下列说法正确的有()
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．
A．1个B．2个
C．3个 D．4个
17.已知两点，经过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是_______________
18. 直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0，π) B.[0，eq \f(π,4)]∪[eq \f(3π,4)，π)
C.[0，eq \f(π,4)] D.[0，eq \f(π,4)]∪(eq \f(π,2)，π)
19.已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
20.已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为
__________．
【巩固练习——提高篇】
1. ，直线与线段有一个公共点，那么
A. 最小值为B. 最小值为
C．最大值为D. 最大值为
2.（设,若直线与轴相交于点,与轴
相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为
A. B. 2C. 3D. 4
3.在平面直角坐标系中，从点P（－3,2）向直线kx－y－2－k＝0
作垂线，垂足为M，则点Q（2,4）与点M的距离|MQ|的最小值是
A． B.
C. D. 17
y
H
x
G
E
F
O
B
C
A
4.在平面直角坐标系中，已知点，，
，分别以△ABC的边向外作正方形与，则直线的一般
式方程为________．
5. ，直线与线段有一个公共
点，那么
（A）最小值为（B）最小值为
（C）最大值为（D）最大值为
6. 点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求eq \f(y＋1,x＋1)的取值范围．
7. 已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
8. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为__________.
9.已知,,若点在线段上,则的最大
值为
A．−1B．3C．7D．8
10.在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
倾斜角
直线
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
点M在圆A上
点在圆上⇔
点在圆内
点M在圆A内
点在圆内⇔
点在圆外
点M在圆A外
点在圆外⇔