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    直线与圆的位置关系专题讲义-2023-二轮复习

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    这是一份直线与圆的位置关系专题讲义-2023-二轮复习,共28页。
    【课前诊断】
    成绩(满分10): 完成情况: 优/中/差
    1. 经过点的直线在两坐标轴上的截距都是正数,且截距之和最小,则直线的方程为
    A. B.
    C. D.
    2. “”是“直线与平行”的
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    3. 直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为( )
    A. 3x-y-13=0 B. 3x-y+13=0
    C. 3x+y-13=0 D. 3x+y+13=0
    4.若直线是圆的一条对称轴,则的值为
    A.B.C.D.
    5.在平面直角坐标系中,从点P(-3,2)向直线kx-y-2-k=0
    作垂线,垂足为M,则点Q(2,4)与点M的距离|MQ|的最小值是
    A. B.
    C. D. 17
    【知识点一:直线与圆的位置关系】
    一、直线与圆的位置关系
    由平面几何知,直线与圆有三种位置关系:
    (1)直线与圆相交,有两个公共点;
    (2)直线与圆相切,只有一个公共点;
    (3)直线与圆相离,没有公共点.
    直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断一览表
    二、圆的切线方程的问题
    1.过圆上一点的切线方程:
    与圆相切于点的切线方程是;
    与圆相切于点的切线方程是:;
    与圆相切于点的切线方程是;
    2.过圆外一点的切线方程:
    设是圆外一点,求过点的圆的切线方程.
    当两条切线斜率都存在时,设切线方程是,即,再由求出待定系数,就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时,斜率不存在的切线方程为,切线斜率存在的切线方程的求法同上.
    三、直线与圆相交的弦长的求法
    1.几何法
    如图所示,直线l与圆C相交于A,B两点,线段AB的长即为l与圆相交的弦长.
    设弦心距为,半径为,弦为AB,则有.
    2.代数法
    直线l与圆交于,直线l的斜率存在,设为k,则联立直线方程和圆的方程得方程组.
    方法一:解方程组得点A、B的坐标,再由两点间的距离公式求弦长.
    方法二:消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系可得弦长,其中k为直线的斜率且k≠0.特别地,当k=0时,可直接利用计算;当k不存在时,可直接利用计算.
    温馨提示:
    ①几何法构造了直角三角形,计算量小,非常适合求直线与圓相交的弦长.
    ②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现,也是解析几何的实质,即用代数法研究几何问题.
    【典型例题】
    考点一: 直线与圆位置关系的判定
    例1.直线与圆的位置关系为
    A. 相切B. 相交但直线不过圆心
    C.直线过圆心D. 相离
    例2.已知直线方程,圆的方程当为何值时,圆与直线
    (1)有两个公共点;
    (2)只有一个公共点;
    (3)没有公共点.
    例3.已知在圆外,则直线与圆O的位置关系是
    A. 相切B. 相交
    C. 相离D. 不确定
    例4. “”是直线与圆
    相交的
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件
    练1.“”是“直线与圆相切”的
    A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
    C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    练2.下列直线与圆相切的是
    练3.已知直线 QUOTE 与圆
    QUOTE 有公共点,则实数 QUOTE 的取值范围为
    A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
    练4.圆与直线没有公共点的充要条件是
    (A)(B)
    (C)(D)
    \
    练5.对于任意的实数,直线与圆的位置关系一定是
    (A)相离 (B)相切 (C)相交但直线不过圆点 (D)相交但直线过圆点
    \
    考点二:切线方程问题
    例1. 求经过点(1,-7)且与圆相切的直线方程.
    例2. 圆,在点处的切线方程为
    A. B.
    C. D.
    例3在平面直角坐标系中,直线的方程为,以点
    为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的半径为
    A.B.C.D.
    练1.过点作圆的切线,求此切线的方程.
    练2.已知圆的方程为x2 + y2 = 25,则过点(-3,4)的圆的切线方程为.
    练3.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程.
    (1)与直线l1:x+y-4=0平行;
    (2)与直线l2:x-2y+4=0垂直;
    (3)过切点A(4,-1).
    考点三: 相交弦长问题
    例1. 求直线被圆截得的弦长.
    例2. 圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为.
    例3. 直线l经过点P(5,5)并且与圆相交截得的弦长为,求l的方
    程.
    例4. 过点的直线中,被圆截得的弦为最短的直线的方程为
    A.B.
    C.D.
    练1.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
    A. B. 2C. D.
    练2.直线截圆得的劣弧所对的圆心角为.
    练3.已知圆截直线所得弦的长度为,则
    实数
    A.B.C.D.
    练4.过圆内的点作一条直线l,使它被该圆截得的线段最
    短,则直线l的方程
    A. B.
    C. D.
    【知识点二:圆与圆的位置关系】
    由平面几何知,圆与圆有五种位置关系(由远及近):外离,外切,相交,内切,内含.
    设两圆与的圆心距为,我们可以得到:
    ,则位置关系表示如下(设):
    【典型例题】
    考点一: 圆与圆的位置关系
    例1.圆与的位置关系是
    A. 相离B. 外切C. 内切D. 相交
    例2.若圆与圆相交,则
    的取值范围是
    A. B.
    C. D. 或
    练1.圆与圆的位置关系是
    A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切
    练2.如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取
    值范围是______________________.
    考点二: 圆与圆的公共弦
    例1.两圆和的公共弦所在直线的方程是____________.
    例2.若圆与圆的公共弦长为,.
    练1.求经过两圆和的交点且圆心在直线
    上的圆的方程.
    考点三: 圆与圆的公切线问题
    例1.两相交圆的公切线有且仅有
    A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
    练1.到点A(-1,2),B(3,-1)的距离分别为3和1的直线有________条.
    【知识点三:动态问题】
    【典型例题】
    例1.已知直线与圆相交于
    两点,(为坐标原点),且为等腰直角三角形,则实数的值为_______.
    例2.已知为圆上两个不同的点(为圆心),且满足,则=__________.
    例3.直线与圆相交于两点,
    则的面积达到最大时,_____________
    例4.已知.若直线上总存在点,使得过点
    的两条切线互相垂直,则实数的取值范围是_____________.
    例5.已知圆和两点,,若圆上存在点,使得,则的最大值为
    A.B.C.D.
    练1.在平面直角坐标系中,点,点在圆
    上,则的最大值为
    A. B. C. D.
    练2.已知为圆()上
    两个不同的点(为圆心),且满足,则
    A. B. C. D.
    练3.已知正方形的边长为,以为圆心的圆与
    直线相切.若点是圆上的动点,则的最大值是
    A. B. C. D.
    练4.已知圆,直线,点
    在直线上.若存在圆上的点,使得(为坐标原点),则的取
    值范围是
    A. B. C. D.
    练5.已知两点,若直线至少存
    在三个点,使得是直角三角形,则实数的取值范围是
    A. B.
    C. D.
    练6. 直线与曲线有且仅有一个公共点,则实数的取值范围是
    A. B.
    C. D.
    练7.已知圆,直线,若
    被圆所截得的弦的长度之比为,则的值为
    A. B. 1C. D.
    练8.已知直线与圆相交于,两点,若,则的取值范围为
    A. B.
    C. D.
    练9.已知圆: 与圆:相外切,则的最大值为
    A.B. C. D.
    练10.已知.若直线上总存在点,使得过
    点的的两条切线互相垂直,则实数的取值范围是_________.
    练11.已知直线,点是圆上的动
    点,则点到直线的距离的最小值为________.
    【小试牛刀】
    1.两圆和的位置关系是( )
    A.内切B. 相交C. 外切D. 外离
    2.圆截直线所得弦长是( )
    A. B. C. D.
    3.圆与直线相切,正实数b的值为( )
    A. B. 1C. D. 3
    4.过圆内的点作一条直线l,使它被该圆截得的线段最短,
    则直线l的方程是( )
    A. B.
    C. D.
    5.已知圆 ,直线,则直线与的位置关系是( )
    A. 一定相离B. 一定相切
    C. 相交且一定不过圆心 D. 相交且可能过圆心
    6.过点的直线l被圆截得的弦长为,则直线l的斜率为
    ________.
    7.上的点到直线的距离的最大值为________.
    8.(2018年高考理07)在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离.当变化时,的最大值为
    A.B.C.D.
    【巩固练习——基础篇】
    1.若直线与圆相切,则的值为
    A.B. C. D.
    2.圆:和:的位置关系是
    A. 外切B. 内切C. 相交D. 相离
    3.直线和圆的关系是
    A. 相离B. 相切或相交C. 相交D. 相切
    4.已知圆截直线所得弦的长度为1,
    那么的值为 QUOTE
    A.B.C.D.
    5.过点(2,1)的直线中,被圆截得的弦为最短的直线的方程为
    A. B.
    C. D.
    6.两圆和的公切线有且仅有
    A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
    7.设是圆上的动点,是直线上
    的动点,则的最小值为
    A.6B.4C.3D.2
    8.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.
    9.设是圆上的点,则M点到直线的最短距离是.
    10.过点与圆相切的切线方程为.
    11.圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为.
    【巩固练习——提高篇】
    1. 若圆与圆外切,则
    A. 21B. 19C. 9D. -11
    2.已知为圆,上关于点对称的两点,则直线的方程为
    A. B.
    C. D.
    3.已知为圆上两个不同的点(为圆心),且满足,则.
    4. 已知直线与曲线交于不同的两点,若
    ,则实数的取值范围是______________.
    5. 已知圆上恰有三个点到直线的距离是,则____.
    6.已知圆的圆心位于第二象限且在直线上,若圆
    与两个坐标轴都相切,则圆的标准方程是 ______.
    7.若圆和曲线恰有六个公共点,则的值是________.
    8.设,过定点A的动直线和过定点B的动
    直线交于点则的最大值是________.
    9.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、
    重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标
    系中作△ABC,AB=AC=4,点B(),点C(),且其“欧拉线”与圆M:
    相切.则圆M上的点到直线的距离的最小值为
    A.B. C. D.
    10. 如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点
    (在的上方), 且.
    (Ⅰ)圆的标准方程为_________;
    (Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于两点,下列三个结论:
    ①;②;③.
    其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)
    11.设,过定点的直线与过定点的直线相交于点,线段是圆的一条动弦,且,给出下列四个结论:
    ①一定垂直 ②的最大值为
    ③点的轨迹方程为 ④的最小值为
    其中所有正确结论的序号是__________.
    12.已知圆:,直线:,点
    ,点.给出下列四个结论:
    当时,直线与圆相离;
    若直线是圆的一条对称轴,则;
    若直线上存在点,圆上存在点,使得,则的最大值为;
    为圆上的一个动点.若,则的最大值为.
    其中所有正确结论的序号是________.
    13. 已知实数满足方程求:
    (1)的最大值和最小值
    (2)的最大值和最小值
    (3)的最大值和最小值
    14.已知圆和定点,由圆外一点向圆引切线,切点为
    且满足.
    (1)求实数,间满足的等量关系.
    (2)求线段长度的最小值.
    (3)若以为圆心做圆,圆与圆有公共点,试求半径取得最小值时圆的方程.位置关系
    相交
    相切
    相离
    公共点个数
    2个
    1个
    0个
    判定方法
    几何法:设圆心到
    直线的距离
    代数法:

    消元得到一元二次
    方程的判别式
    图形
    A.
    B.
    C.
    D.
    位置关系
    关系式
    图示
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    相交
    内切
    内含

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