湖南省长沙市初三人教版寒假压轴题训练

寒假压轴题训练        班级：     姓名：

【题1】背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为　     　，位置关系为　      　.（直接写出答案）

（2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，求BE与DG的数量关系和位置关系；

（3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案）

【题2】定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．

（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 　矩形　；

（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．

①求证：EG＝DG；

②若BC＝n•BG，求n的值；

（3）如图2，在Rt△ABC中，＝2，AB＝，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积．

【题3】定义：如图1，D，E在△ABC的边BC上，若△ADE是等边三角形则称△ABC可内嵌，△ADE叫做△ABC的内嵌三角形．

（1）直角三角形 　不一定　可内嵌．（填写“一定”、“一定不”或“不一定”）

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，△ADE是△ABC的内嵌三角形，试说明AB2＝BD•BC是否成立？如果成立，请给出证明；如果不一定成立，请举例说明．

（3）在（2）的条件下，如果AB＝1，AC＝2，求△ABC的内嵌△ADE的边长

【题4】如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：

（1）ctan30°＝　　；

（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．

【题5】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A1B1到⊙O的“平移距离”为 　   　，点A2，B2的坐标分别为（﹣，），（，），线段A2B2到⊙O的“平移距离”为 　     　；

（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；

（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．

【题6】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）P是线段AC上的一个动点，过点P作PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；

（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

【题7】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；

（3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．

【题8】如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；

（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．

【题9】如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于点C，P是抛物线上一点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）如图1，当点P在直线BC上方时，求△PBC面积的最大值；

（3）直线PE∥x轴，交直线BC于点E，点D在x轴上，点F在坐标平面内，是否存在点P，使以D，E，F，P为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【题10】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m+1（m为常数）．

（1）当抛物线的顶点在第二象限时，求m的取值范围；

（2）当﹣2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且当x＝1时y有最小值，求整数m的值．

（3）当m＝1时，点A是直线y＝2上一点，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，以线段AB为边作正方形ABCD，使CD与y轴在AB的同侧．若点C落在抛物线上，求点A的核坐标．

（4）已知△EFG一个顶点的坐标分别为E（0，1），F（0，﹣1），G（2，1）．当抛物线与△FFG的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．